В настоящей главе мы займемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в и затем в . Мы рассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках, где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было указано в . Пусть

регулярная функция, совершающая конформное преобразование области В в область . Если нигде в нуль не обращается в области В, то область не имеет точек разветвления, но может все же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В некоторую кривую функцию заданную на этой кривой, и криволинейный интеграл

где элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1) кривая l перейдет в некоторую кривую лежащую в области и элемент дуги новой кривой будет выражаться произведением так как дает коэффициент изменения линейных размеров .

Вводя функцию

обратную (1), мы будем иметь, очевидно, следовательно, можем написать

Так что интеграл в результате преобразования будет выражаться в виде

Точно так же, принимая во внимание, что будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:

и для элемента площади будет иметь место следующая формула:

Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,

то нетрудно видеть, что равно функциональному определителю от функций по переменным х и у. Действительно, этот функциональный определитель выражается формулой

или, в силу уравнений Коши - Римана, формулой

а это и есть как раз квадрат модуля производной

Рассмотрим на плоскости два семейства линий вида

где произвольные постоянные. На плоскости им будут соответствовать прямые параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаются из сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования (2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии (7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения

и положим в правых частях этих уравнений или где произвольные постоянные, то получим на плоскости сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.

Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных осям координат плоскости при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению Лапласа :

Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла причем мы считаем, что имеется плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из координат.

При таком толковании функции как температуры при установившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будут линиями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из семейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в и называли векторами потока тепла.

При преобразовании (1) две линии перейдут в прямые параллельные оси и часть области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси .

Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)

Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией в тех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное.

Такое преобразование называют иногда конформным преобразованием второго рода. В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Это преобразование можно записать в виде формулы . Вообще, если есть регулярная функция в области В, то формула

будет давать конформное преобразование второго рода, определенное в области симметричной с В относительно вещественной оси. Действительно, переход от z к будет переводить в В с сохранением величин углов, но с изменением направления их отсчета. Последующий затем переход от к по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразование второго рода.

Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области .

Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:

1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом

2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .

Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы:

1) действительные функции и были дифференцируемы в точке *) ;

2) в этой точке выполнялись условия

, (4.2)

называемые условиями Коши-Римана (C.-R. ) или Даламбера-Эйлера.

При выполнении условий (C.-R .) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:

Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Определение. Функция называется аналитической в точке , если она является аналитической в некоторой окрестности точки , т.е. если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в ее окрестности.

Из приведенных определений видно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области совпадают, а аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.

Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши–Римана для всех точек этой области.

Связь аналитических функций с гармоническими . Любая ли функция двух переменных и может служить действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции?

Если функция аналитическая в области , то функции и являются гармоническими, т.е удовлетворяют уравнению Лапласа.

и .

Однако если функции и являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция , вообще говоря, не будет аналитической, т.е. условия для них не всегда будут выполняться.

Можно построить аналитическую функцию по одной заданной гармонической функции (например, ), подобрав другую так, чтобы удовлетворялись условия . Условия (4.2) позволяют определить неизвестную функцию (например, ) по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Отыскивание гармонической функции по ее дифференциалу есть известная из действительного анализа задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку в кривую , проходящую через (рис.4.1).

Модуль производной есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией

В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой. Для аргумента производной можно записать

где и это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью (рис.4.1). Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .

Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и (рис. 4.1) между их касательными, вообще говоря, неравные.

Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений () в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом). Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .

УПРАЖНЕНИЯ

55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.

Решение. Найдем и . По определению имеем . Следовательно, .

, ,

Откуда , .

Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции и дифференцируемы в каждой точке плоскости. Условия выполняются. Следовательно, дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости . Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):

Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .

56. Выяснить, является ли аналитической функция:

Решение. а) Так как , то , откуда . Как видно, первое условие (4.2) не выполняется ни при каких и . Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.

б) Имеем . Функция и дифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условия не выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки , где все частные производные равны нулю. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.

Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении . Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.

57. Существует ли аналитическая функция, для которой ?

Решение. Проверим, является ли функция гармонической. С этой целью находим

и . Из последнего соотношения следует, что не может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.

58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части .

Решение. Прежде проверим, является ли функция гармонической. Находим , , , и . Гармоническая на всей плоскости функция сопряжена с условиями Коши-Римана , . Из этих условий получаем , . Из первого уравнения системы находим интегрированием по , считая постоянным.

где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюда и приравняем к выражению , ранее найденному: . Получим дифференциальное уравнение для определения функции , откуда

Итак, . Тогда, т.е. в данной точке происходит вращение на угол и образующие между собой угол , отображаются соответственно в лучи и , образующие между собой угол . Поэтому в точке конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.

Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.

§ 10. Задача Римана

Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.

Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.

Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение обратное и конформному отображению и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений (т. е. отображение ), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.

Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции конформно отображают соответственно области на единичный

круг то функция будет отображать на

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).

Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях Согласно замечанию, для решения этого вопроса достаточно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном и любом действительном числе функция

конформно отображает круг на себя (в самом деле, при имеем и, следовательно, т. е. (1) преобразует единичную окружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров - двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относительно центра.

Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:

конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение - они называются условиями нормировки - могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.

Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.

1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность т. е. область на себя; в бесконечность она переводит точку которая называется симметричной с а относительно единичной окружности

2) Верхняя полуплоскость на круг тоже отображается дробнолинейной функцией:

здесь а - произвольная точка верхней полуплоскости она переводится при отображении (2) в центр круга; точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости (предел правой части (2) при очевидно, равен ).

На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке

3) Внешность единичного круга на внешность отрезка отображается так называемой функцией Жуковского

Окружности переходят при этом в эллипсы с полуосями и с фокусами ±1, а лучи в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).

4) Полоса на единичный круг отображается функцией

Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24).

5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке отображается функцией

где а и а - параметры сегмента (рис. 25), а с - действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой

Можно еще заметить, что с точностью до малых высших порядков дает площадь с выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде

6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:

здесь вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.

7) Такая же приближенная формула для отображения полосы с выброшенной луночкой малой площади с на полосу имеет вид

где а - абсцисса одной из точек луночки; гиперболический тангенс.

Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.

Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе ограниченной кривыми

Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала - аналитической в функции Найти течение - значит найти эту функцию.

Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых должна быть линией тока это дает граничное условие задачи. Мы можем задать

еще расход потока который, как показано в прошлой главе, равен

где у - линия с концами т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас интересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что на на Г.

В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда является прямой полосой ее решением служит любая функция

При любых действительных и целых (мнимая часть обращается в нуль при Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограниченной в бесконечности, наложить на некоторые условия гладкости и рассматривать лишь течения с ограниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение области на полосу с нормировкой . Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Простейшие примеры

Пример 1. С помощью функции отобразить на плоскость прямую.

Преобразуем прямую.Получаем.

Таким образом,

Подставляем в полученные уравнения:

и получаем

Из полученных уравнений исключаем х.

Из уравнения (1) находим х и получаем

Подставляем (3) в уравнение (2):

получаем

Изобразим полученные линии на рисунке 1.

Рисунок 1 Конформное отображение прямой функцией

Ответ: Итак, прямая, расположенная в плоскости хОу, конформно отобразилась в кривую (параболу) расположенную в плоскости

Пример 2. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:

При отображении с помощью функции угол поворота есть,а .

В точке имеем

Ответ: (сжатие).

Пример 3. Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба в точке при отображении:

При отображении с помощью функции угол поворота есть,а коэффициент искажения масштаба в точке равен

В точке имеем

(растяжение).

Ответ: (растяжение).

Пример 4. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

Находим производную

Следовательно,

Пример 5. Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:

Коэффициент искажения масштаба в точке равен

Находим производную

По условию коэффициент искажения масштаба должен быть равен 1.

Следовательно,

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конформные отображения

1.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного

конформный отображение функция

Геометрический смысл аргумента производной

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

x = x (t), y = y (t), б? t ? в,(1)

где x (t), y (t) -- действительные функции действительного переменного t. В дальнейшем предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные на интервале (б, в), причем x"(t) и y"(t) не обращаются в нуль одновременно. Кривая, обладающая указанными свойствами, называется гладкой.

Так как каждая точка (х, у) на плоскости задается комплексным числом z = х + iy, то уравнения (1) можно записать в более компактной форме:

z (t) = x (t) + i y (t), б? t ? в.

Возьмем значения t 0 и t 0 + Дt из интервала (б, в). Им соответствуют точки z (t 0) и z (t 0 + Д t) на кривой.

Вектор Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy направлен по секущей, проходящей через эти точки.

Если умножить Дz на действительное число 1/ Дt, то получим вектор Дz / Дt, коллинеарный вектору Дz. Начнем уменьшать Дt. Тогда точка z (t 0 + Дt) будет приближаться к z (t 0) по кривой; вектор Дz/ Дt будет поворачиваться, приближаясь к вектору

Предельное положение секущих, проходящих через точку z (t 0), называется касательной к кривой в этой точке. Таким образом, вектор z " (t 0) направлен по касательной к кривой в точке z (t 0).

Пусть теперь задана функция f (z), аналитическая в точке z 0 , причем f "(z 0) ? 0. Предположим далее, что через точку z 0 проходит кривая г, заданная уравнением z (t) = x (t) + iy (t), и z (t 0) = z 0 . Кривая г отображается функцией w = f (z) в кривую Г, лежащую в плоскости переменного w; уравнение кривой Г будет иметь вид w (t) = f (z(t)); точка z 0 отобразится в точку w 0 = f (z 0). По правилу дифференцирования сложной функции

w " (t 0) = f " (z 0) ? z " (t 0).(2)

Отсюда следует, что

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

Но z " (t 0) есть вектор, касательный к кривой г в точке z 0 (рис. 1а), a w " (t 0) -- вектор, касательный к кривой Г в точке w 0 (рис. 1б). Поэтому равенство (3) позволяет придать величине Arg f " (z 0) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который поворачивается касательная в точке z 0 к любой кривой, проходящей через эту точку, при отображении w = f (z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой г, т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z 0 , поворачиваются при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный Arg f " (z 0).

Возьмем какие-либо две кривые г и г1 проходящие через точку z 0 , и проведем касательные к этим кривым (рис. 1а). При отображении

w = f (z) кривые г и г1 перейдут в кривые Г и Г 1 , а каждая из касательных к г и г1 повернется на один и тот же угол. Поэтому угол и между касательными к г и г1 будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к Г и Г 1. Напомним, что углом между кривыми в точке z 0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z 0 . Таким образом, если f "(z 0) ? 0, то отображение w = f (z) сохраняет углы между кривыми. Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми г и г1 и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов.

Геометрический смысл модуля производной

Зафиксируем точку z 0 и возьмем приращение аргумента Дz; очевидно, что модуль |Дz| равен расстоянию между точками z 0 и z = z 0 + Дz (рис. 2а). Пусть w = f (z), Дw = w -- w 0 . Тогда величина |Дw| / |Дz| указывает, в каком отношении изменяется расстояние между точками z 0 и z в результате отображения w = f (z). Предел называется коэффициентом растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Поскольку

то модуль | f "(z 0) | равен коэффициенту растяжения в точке z 0 при отображении w = f (z). Если | f "(z 0) | > 1, то в достаточно малой окрестности точки z 0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если | f "(z 0)| < 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название свойства постоянного растяжения .

Так как производная f "(zo) не зависит от того, по какому пути точка z 0 + Дz приближается к z 0 , то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем окружность l с центром z 0 и радиусом |Дz| (т.е. приращения Дz имеют фиксированный модуль, но различные направления -- рис. 2а). При отображении w = f (z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 2б); расстояние от точки w = f (z 0 + Дz) этой кривой до точки w 0 = f (z 0) равно

|Дw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Дz) - f (z 0)|.

Поскольку Дw = f " (z 0) Дz + б (Дz) Дz, где б (Дz) > 0 при Дz > 0, то |w - w 0 | = |f " (z 0) Дz + б(Дz) Дz|. Это равенство означает, что точки кривой L будут мало отличаться от окружности |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| с центром w 0 и радиусом |f " (z 0)| | Дz| (точнее говоря, будут отличаться от этой окружности на величину более высокого порядка малости, чем |Дz| -- рис. 2б).

2.Понятие конформного отображения

Отображение называется конформным в точке z 0 , если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z 0 ; 2) растяжение в точке z 0 не зависит от направления.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Полученные выше результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если функция w = f (z) является аналитической в точке z 0 и f "(z 0) ? 0, то f (z) осуществляет конформное отображение первого рода в точке z 0 . При этом Arg f " (z 0) означает угол поворота, a |f " (z 0)| -- коэффициент растяжения при данном отображении.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = , которая каждую область D отображает на область Е, симметричную D относительно оси ОХ.

Если f "(z 0) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z 0 . Так, отображение w = z 2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Отметим, что в силу общих свойств аналитических функций в окрестности точки w 0 определена однозначная аналитическая функция z = ц (w). Тем самым между окрестностями точек z 0 и w 0 установлено взаимно однозначное соответствие. Введем следующее фундаментальное определение.

Определение. Взаимно однозначное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w называется конформным, если это отображение во всех точках z ? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.

Подчеркнем, что данное определение подразумевает непрерывность рассматриваемого отображения.

Выясним теперь какими свойствами должна обладать функция комплексной переменной для того, чтобы отображение, осуществляемое этой функцией, было конформным. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f (z) является однозначной и однолистной аналитической функцией в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Тогда функция f (z) производит конформное отображение области? на область G комплексной плоскости w, представляющую собой область значений функции w = f (z) при z ?.

Доказательство. Действительно, в силу условия f " (z) ? 0 при z ? отображение, осуществляемое функцией f (z), во всех точках области? обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.

Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуществляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, являются ли условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3. Пусть функция f (z) осуществляет конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w и ограничена в?. Тогда функция f (z) является однолистной и аналитической в области?, причем f " (z) ? 0 при z ?.

Доказательство. Так как отображение, осуществляемое функцией f (z), является конформным, то оно является взаимно однозначным, и в любой точке z 0 ? выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следовательно, для любых точек z 1 и z 2 , принадлежащих окрестности точки z 0 , с точностью до бесконечно малых величин выполняются соотношения

где Дz 1 = z 1 - z 0 и Дz 2 = z 2 - z 0 суть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки z 0 , а Дw 1 и Дw 2 - их образы (рис. 3).

Заметим, что в силу (4) соответствующие углы в точках z 0 и w 0 равны не только по абсолютной величине, но и по направлению. Обозначив arg через, из (4) найдем, что и arg. Действительно,

Из (5) и (6) получим, что с точностью до бесконечно малых величин имеет место соотношение

В силу произвольности выбора точек z 1 и z 2 в окрестности точки z 0 соотношение (7) означает, что существует предел разностного отношенияпри. Этот предел по определению является производной функции f (z) в точке z 0 . Так как, то эта производная отлична от нуля:

Точка z 0 - произвольная точка области?; поэтому из (8) следует, что функция f (z) является аналитической в области? и f " (z) ? 0 при z ?. Однолистность следует из взаимной однозначности отображения. Теорема доказана. Итак, конформное отображение области? комплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w осуществляется только однолистными аналитическими функциями комплексной переменной с производной, отличной от нуля во всех точках области?.

Отметим, что условие f " (z) ? 0 всюду в области? является необходимым, но недостаточным условием конформности отображения области? на область G, осуществляемого функцией f (z).

3.Общие свойства конформных отображений

Теорема 4. (теорема Римана). Пусть D и D" -- односвязные области на расширенных плоскостях переменных z и w соответственно, причем границы этих областей состоят более чем из одной точки. Тогда существует аналитическая функция, взаимно-однозначно и конформно отображающая D на D".

Из теоремы Римана следует, что односвязную область D нельзя конформно отобразить на единичный круг |w| < 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Отображение w = f (z) области D на D", существующее по теореме Римана, не является единственным. Для однозначного определения конформного отображения нужно задать дополнительные условия, называемые условиями нормировки, содержащие три действительных параметра. Например, достаточно в какой-либо одной точке z 0 области D задать значения

w 0 = f(z 0), .(9)

Здесь в качестве параметров выступают две координаты точки w 0 и действительное число. Условия (9) означают, что отображение w = f(z) является единственным, если для какой-либо точки z 0 области D задать ее образ w 0 в области D" и угол поворота бесконечно малых векторов в точке z 0 .

Можно задавать и другие условия нормировки, отличные от (9). Например, задают образы одной внутренней и одной граничной точек области D:

f(z 0) = w 0 , f(z 1) = w 1 ,

где z 0 , w 0 -- внутренние точки областей D, D", a z 0 , w 0 -- граничные точки этих областей. Здесь также присутствуют три действительных параметра: две координаты точки w 0 и положение граничной точки w 1 , которая определяется одним действительным числом (например, расстоянием, отложенным по границе области D" от некоторой фиксированной граничной точки). Укажем еще один вариант условий нормировки:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

где z k и w k -- граничные точки областей D и D".

Сформулируем следующее важное свойство конформных отображений.

Свойство 1. (принцип сохранения области). Если функция w = f(z) аналитична в области D и отлична от постоянной, то множество D", на которое она отображает D, также является областью (т.е. открытым связным множеством).

Перейдем к утверждениям, описывающим соответствие границ при конформных отображениях.

Свойство 2. (принцип соответствия границ). Пусть D и D" -- односвязные области, ограниченные непрерывными замкнутыми контурами Г и Г", составленными из конечного числа гладких кривых. Пусть, далее, функция w = f(z) конформно отображает D на D". Тогда эту функцию можно доопределить и в точках границы Г так, что она станет непрерывной в замкнутой области и отобразит Г взаимно-однозначно и непрерывно на Г ".

Указанное свойство означает, что при конформном отображении друг на друга двух областей между их границами устанавливается взаимно-однозначное и непрерывное соответствие.

Свойство 3. При взаимно-однозначном и конформном отображении областей D и D" сохраняется направление обхода их границ.

Другими словами, если при обходе границы область D остается слева, то и при соответствующем обходе границы области D" эта область остается слева.

Большое значение для построения конформных отображений имеет следующее свойство.

Свойство 4. (обратный принцип соответствия границ).

Пусть односвязные области D и D" ограничены кривыми Г и Г". Пусть, далее, функция w = f(z), аналитическая в D и непрерывная в, отображает Г взаимно-однозначно на Г ", причем, когда точка z обходит контур Г так, что область D остается слева, соответствующая точка w обходит контур Г " так, что область D" также остается слева. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно-однозначное конформное отображение области D на область D".

Следовательно, для отыскания области, на которую функция w = f(z) отображает заданную область D, достаточно обойти границу области D и найти контур, на который эта граница отображается функцией f(z).

4.Основные функции

Линейная функция

Функция w = az + b,(10) , где а и b -- заданные комплексные числа и а?0, называется линейной функцией. Так как w " = а? 0, то отображение (10) является конформным во всей плоскости С. Докажем, что оно также однолистно в С. Если w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, то w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2). Поэтому при z 1 ? z 2 получаем, что w 1 ? w 2 , и однолистность установлена. Положив по определению w(?) = ?, получим однолистное отображение всей расширенной комплексной плоскости на.

Для изучения геометрических свойств отображения (10) рассмотрим вначале случай b = 0, т.е. w = az. Пусть а = , z = .Тогда

Поэтому для получения вектора w = az нужно выполнить следующие два действия:

1) умножить заданный вектор z на |а|. При этом направление вектора z останется прежним, но длина увеличится в |а| раз. Значит, умножение на |а| есть преобразование подобия (гомотетия) с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|;

2) повернуть полученный вектор |a|z на угол б.

Для рассмотрения общего случая (10) заметим, что при сложении вектора az с вектором b происходит параллельный перенос концевой точки вектора az на вектор b. Итак, отображение (10) получается путем композиции (т.е. последовательного выполнения) следующих трех операций: 1) преобразования подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия |а|; 2) поворота вокруг начала координат на угол б; 3) параллельного переноса на вектор b.

Дробно-линейная функция.

Перейдем к изучению дробно-линейной функции, определяемой равенством

и соответствующего дробно-линейного отображения. Так как

то естественно определить w(?) = а/с, w(--d/c) = ?. Определенная таким образом функция будет непрерывной во всей расширенной комплексной плоскости.

Если с = 0, то w = и дробно-линейная функция сводится к уже изученной линейной функции. Поэтому в дальнейшем предполагается, что с? 0.

Умножим числитель и знаменатель дроби (11) на с и добавим в числителе +ad -- ad. Тогда дробь (11) можно представить в виде

Если bc -- ad = 0, то w = a/c и функция (11) сводится к постоянной. В дальнейшем считаем выполненными условия

с? 0, bc - ad ? 0.(13)

Покажем, что дробно-линейная функция (11) осуществляет взаимно-однозначное отображение на. С этой целью решим уравнение (11) относительно z (это возможно при z ? --d/c, z ? ?, w ? а /с, w ? ?):

Поэтому каждое значение w ? а/с и w ? ? имеет только один прообраз z ? - d/c и z ? ?. Но в силу определения значению w = а/с соответствует z = ?, а значению w = ? -- величина z = --d/c. Итак, каждая точка w имеет только один прообраз z , что и требовалось доказать.

Установим теперь конформность отображения (11). Так как

то при z ? - d/c и z ? ? производная w" существует и не равна нулю. По теореме 1 дробно-линейное отображение является конформным всюду, кроме этих двух точек.

Для выяснения конформности при z = - d/c и z = ? нам понадобится следующее определение.

Под углом между двумя линиями в точке z = ? понимается угол между образами этих линий при отображении w = в начале координат.

Теорема 5. Дробно-линейная функция

Ad -- bс? 0, w(?) = а/с, w(- d/c) = ?, (14)

осуществляет взаимно-однозначное и конформное отображение расширенной комплексной плоскости на всю.

Мы не исключаем случай с = 0 в теореме 5, так как в этом случае дробно-линейная функция становится линейной, также обладающей всеми свойствами, указанными в теореме 5.

Установим теперь круговое свойство дробно-линейного отображения. Для единообразия дальнейших формулировок удобно рассматривать прямую как окружность бесконечно большого радиуса.

Теорема 6. При дробно-линейном отображении (14) окружности всегда переходят в окружности.

(Заметим, что окружность конечного радиуса может переходить в окружность бесконечного радиуса, т.е. в прямую, и наоборот.)

Доказательство. Рассмотрим уравнение

А(х 2 +у 2) + Вх + Су + D = 0,(15)

где А, В, С, D -- действительные коэффициенты. При А = 0 получаем Вх + Су + D = 0, т.е. уравнение прямой. Если А? 0, то, разделив на А и выделив полные квадраты, придем к равенству

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

которое определяет либо окружность, если справа +R 2 , либо точку, если R = 0, либо пустое множество, если справа -R 2 . С другой стороны, любую окружность (в частности, прямую) можно задать уравнением вида (15).

Докажем вначале круговое свойство для отображения w = 1/z. Возьмем произвольную окружность на комплексной плоскости. Она задается уравнением (15). Обозначим z = х + iy, w = u + iv. Равенство w = 1/z дает z = 1/w, или

Чтобы получить уравнение кривой, в которую перейдет окружность при отображении w = 1/z, подставим в (15) найденные выражения для х и у:

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Мы пришли к уравнению такого же вида, что и (15), но в плоскости переменного w = u + iv. Как мы видели ранее, такое уравнение определяет либо окружность (в частности, прямую при D = 0), либо точку, либо пустое множество. Но в силу взаимной однозначности дробно-линейного отображения окружность не может перейти в точку или в пустое множество. Значит, она переходит в окружность и круговое свойство отображения w = 1/z установлено.

Рассмотрим теперь общий случай дробно-линейного отображения (14). Если с = 0, то получим линейное отображение w = a 1 z + b 1 , которое сводится к растяжению с поворотом и сдвигу. Каждое из этих преобразований, очевидно, обладает круговым свойством. Значит, и для отображения w = a 1 z + b 1 данное свойство имеет место.

Пусть теперь с? 0. Воспользовавшись равенством (12), представим дробно-линейное отображение в виде

где Е = , F =, G =.

Из равенства (16) следует, что дробно-линейное отображение представлено в виде композиции следующих трех преобразований:

1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2 . Как было установлено выше, каждое из этих преобразований окружность переводит в окружность. Значит, их композиция также обладает этим свойством, что и требовалось доказать.

Чтобы сформулировать еще одно свойство дробно-линейных отображений, нам понадобиться следующее определение.

Точки А и А" называются симметричными относительно окружности радиуса R < ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

ОА* ОА" = R 2 .(17)

Если точка А приближается к окружности (см. рис. 4), т.е. если ОА > R, то О А" тоже стремится к R; всякая точка на окружности симметрична самой себе; если ОА > 0, то ОА" > ?. Поэтому для точки О симметричной будет бесконечно удаленная точка. Под симметрией относительно

окружности радиуса R = ? понимается обычная симметрия относительно прямой.

Лемма 7. Для того чтобы точки А и А" были симметричными относительно окружности Г (возможно, бесконечного радиуса), необходимо и достаточно, чтобы любая окружность, проходящая через А и А", была перпендикулярна Г (рис. 5).

Доказательство. Необходимость. Пусть точки А и А" симметричны относительно окружности Г. Проведем произвольную окружность Г " через точки А и А" , и пусть В -- точка пересечения окружностей Г и Г". По известной теореме о секущей и касательной произведение секущей ОА" на ее внешнюю часть ОА равно квадрату касательной. В то же время, в силу

симметрии, ОА * ОА" = R 2 . Значит,

радиус ОВ является касательной к окружности Г". Поскольку радиус ОВ перпендикулярен касательной к Г, проходящей через точку В, то окружности Г и Г" перпендикулярны, что и требовалось доказать. Если Г" -- прямая (это будет в случае А = 0), то она проходит через точку О и, следовательно, также перпендикулярна Г.

Достаточность. Пусть точки А и А" таковы, что любая окружность (в частности, прямая), проходящая через них, пересекает Г под прямым углом (см. рис. 5). Докажем, что А и А" симметричны относительно Г. Так как прямая АА" перпендикулярна Г, то она проходит через точку О. Значит, точки О, А, А" лежат на одной прямой. Но они лежат и на одном луче, выходящем из точки О. Действительно, если бы точки А и А" лежали по разные стороны от точки О, то окружность с диаметром АА" не была бы перпендикулярна Г.

Проведем произвольную окружность Г " через А и А" с радиусом R" < ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Мы доказали лемму 7 в случае R < ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Теперь мы готовы установить следующее свойство дробно-линейных отображений (свойство сохранения симметрии):

Теорема 8. При дробно-линейном отображении (14) пара точек, симметричных относительно окружности (в частности, прямой), переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Доказательство. Пусть точки z 1 и z 2 симметричны относительно окружности Г. При дробно-линейном отображении (14) Г перейдет в кривую г, которая по теореме 6 также является окружностью; точки z 1 и z 2 перейдут в точки w 1 и w 2 . Надо доказать, что w 1 и w 2 симметричны относительно г. Возьмем любую окружность г ", проходящую через w 1 и w 2 ,и рассмотрим ее прообраз Г " при отображении (14) (т.е. множество точек на плоскости переменного z, переходящих в г "). Для этого выразим z из уравнения (14):

при ad - bc ? 0

Мы видим, что Г " получается из г" также дробно-линейным отображением. Поскольку г ` является окружностью, то по теореме 6 Г ` -- тоже окружность. Так как Г ` проходит через точки z 1 и z 2 , симметричные относительно Г, то по лемме 7 окружность Г ` перпендикулярна Г. В силу конформности дробно-линейного отображения и г ` перпендикулярна г. По лемме 7 отсюда следует, что точки w 1 и w 2 симметричны относительно г, и доказательство завершено.

Установленные свойства дробно-линейных отображений позволяют находить отображения областей, ограниченных окружностями (в частности, прямыми).

Степенная функция. Понятие римановой поверхности.

Рассмотрим степенную функцию

где n -- натуральное число. Производная w" = nz n -1 существует и отлична от нуля во всех точках z ? 0, z ? ?. Поэтому отображение, осуществляемое функцией (18), является конформным во всех точках, кроме z = 0 и z = ?. Если записать переменные z и w в показательной форме, z = r e i ц, w = се i и, то (18) приводит к равенствам

с = r n , и = nц.

Отсюда видно, что окружности |z| = r переходят в окружности |w| = r n , угол 0 < ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Пусть точки z 1 и z 2 таковы, что z 2 = z 1 e i 2 р / n , n ? 2. Легко видеть, что z 1 ? z 2 , и. Поэтому отображение (18) не является однолистным во всей комплексной плоскости С, но является таковым внутри любого угла величиной б < 2 р /n с вершиной в начале координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел w.

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z), были однозначными. Функция Arg z является многозначной:

Arg z = arg z + 2рk ,

где arg z -- главное значение аргумента и к -- любое целое число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция w = f(z) отображает область D на область Е. Обратной к функции w = f(z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(w), определенная на области Е, которая каждому комплексному числу w Е ставит в соответствие все комплексные числа zD, такие что f(z) = w.

Другими словами, функция, обратная к w = f(z), -- это правило, по которому каждой точке wЕ соответствуют все ее прообразы zD.

Если функция w = f(z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если w = f(z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции w = z n является многозначная функция z = : каждому значению w, отличному от 0 и?, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых формулой

Числа 0 и? имеют по одному корню: , а.

Теорема 9. Пусть функция w = f(z) однолистна и аналитична в области D, отображает D на область Е и f "(z) ? 0. Тогда обратная функция z = g(w) также аналитична в области Е и

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку zD и возьмем приращение Дz ? 0. Тогда, в силу однолистности функции w = f(z), соответствующее приращение Дw = f(z + Дz) -- f(z) также не равно нулю. Поэтому

Так как функция w = f(z) аналитична, то она непрерывна в точке z.

Следовательно, Дw > 0 при Дz > 0, а в силу взаимной однозначности верно и обратное: Дz > 0 при Дw > 0. Отсюда

что и требовалось доказать.

Аргументом функции z = g(w), обратной w = f(z), является переменная w. Поскольку аргумент функции часто обозначают через z, то для единообразия переобозначают переменные z и w и пишут w = g(z). Например, обратная функция к w = z n запишется как w = .

Рассмотрим подробнее функцию w = . Как было отмечено выше, она является многозначной. Тем не менее можно определить эту функцию на множестве более сложного устройства, чем комплексная плоскость, на котором функция w =станет взаимно-однозначной и непрерывной. Опишем соответствующее множество. Возьмем n экземпляров ("листов") D 0 , D 1 ,..., D n -1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль положительной полуоси, и расположим их друг над другом (на рис. 6а показан случай n = 4).

Затем тот край разреза области D 0 , к которому мы подходим снизу от луча ОХ (т.е. по полуплоскости у < 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Она называется римановой поверхностью функции w = . Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и?, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки х > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ?.Все листы римановой поверхности считаются склеенными в точках, расположенных над точками z = 0 и z = ?.

Определим теперь функцию w = на построенной римановой поверхности. Напомним, что если z = r e iц, то все корни n-й степени из z определяются формулой (*):

Угол ц в этой формуле можно выбирать из любого промежутка длины 2р; нам удобно предполагать, что 0 ? ц < 2р.

Точкам z = r e iц, лежащим на листе D 0 и склейке D 0 с D n -1 , ставим в соответствие значение корня с k = 0; точкам, лежащим на листе D 1 и склейке D 1 с D 0 , -- значение корня с k = 1. Вообще, точкам, лежащим на D k , при 1 ? k ? n-1, и склейке D k , с D k -1 , соответствует значение корня с данным k. Построенное соответствие будет однозначной функцией на римановой поверхности.

Нетрудно показать, что эта функция взаимно-однозначно отображает риманову поверхность на всю комплексную плоскость. Действительно, лист D k будет отображаться в угол, а склейки отобразятся в лучи, соединяющие эти углы; тем самым вся комплексная плоскость будет покрыта образами точек римановой поверхности.

Покажем, что это отображение является и непрерывным. Если точка z лежит на листе D k с разрезом, то непрерывность в этой точке прямо следует из формулы (20) с фиксированным к. Для демонстрации непрерывности в точках склеек рассмотрим контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над окружностью |z| = 1 комплексной плоскости. Начнем обходить этот контур с точки z, расположенной на верхнем крае разреза листа D 0 . Так как r = 1, ц = 0, k = 0, то w = = 1. При обходе первого витка контура на листе D 0 будет

и. Перейдя по склейке на лист D 1 , мы получим, по определению, (так как к = 1). В частности, при ц = 0 будет то же самое значение корня, к которому мы приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D 0 . Значит, в точках склейки D 0 c D 1 функция будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня и при переходе с D k -1 на D k при 1 ? k ? n-1. Наконец, обходя контур по листу D n -1 и приближаясь к нижнему краю разреза, получим k = n - 1, и,

т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D 0 . Таким образом, функция будет непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ?).

Возьмем любую окружность |z| = r на комплексной плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ?. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ? 0, z ? ?, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.

Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F (z), определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F (z) в этой точке.

Многозначная функция F (z) является однозначной и аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по лестнице). Например, кольцо 1 < |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция e z определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = х + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Второе равенство в (21) получается, если принять по определению е х + i у = е х е i у и применить к е i у формулу Эйлера. Из (21) следует, что

|e z | = |е x + i у | = е x , Arg e z = у + 2 рn.

Определение (21) и свойства функции е i ц позволяют легко доказать, что функция e z обладает обычными свойствами показательной функции:

e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .

Докажем, что функция e z будет аналитической во всей комплексной плоскости С. Для этого надо проверить выполнимость условий Коши--Римана (7). Если w = u + iv, то в силу (21) u + iv = е х cos у + iе х sin у, откуда

u = е х cos у, v = e x sin y;

Таким образом, условия (7) выполнены, и аналитичность функции e z доказана. Чтобы вычислить производную (e z)", воспользуемся независимостью производной от направления и вычислим производную в направлении оси ОХ:

Следовательно, для производной функции e z имеет место обычная формула

Следующее свойство функции e z не имеет аналога в случае показательной функции действительного переменного: функция e z является периодической с чисто мнимым периодом 2рi. В самом деле, для любого целого n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = е x (cos y + i sin y) = e z .

Из периодичности функции w = e z следует, в частности, что она не является однолистной во всей комплексной плоскости. Для выяснения, в каких областях эта функция однолистна, положим z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = х 2 + iy 2 . В силу (21), равенство e z 1 = e z 2 равносильно следующим условиям:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

откуда следует х 1 = x 2 , y 1 = y 2 + 2рn, где n -- произвольное целое число, или

z 1 - z 2 = 2рni.(22)

Следовательно, для взаимной однозначности отображения w = e z в области D необходимо и достаточно, чтобы D не содержала никакой пары точек, для которой справедливо (22). В частности, этому условию удовлетворяет любая горизонтальная полоса шириной 2р, например полосы

{z: - ? < х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Каждой такой полосе соответствует совокупность значений w = e z = e x e iy = сe iи для которых, в силу равенств с = е х, и = у, имеем

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Эти значения w заполняют всю комплексную плоскость переменного w с разрезом по действительной положительной полуоси. При этом прямые у = у 0 (показаны на рис. 7, а пунктиром) переходят в лучи и = у 0 (рис. 7б), а интервалы x = x 0 , 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

для k = 0) -- в окружности сe x 0 (с выколотыми точками на полуоси u > 0). Полосы 0 < Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Логарифмической функцией называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция e z не является однолистной в С, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = e w . Положим

w = u + iv, z = r e iц = re iArg z .

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Сравнивая числа, стоящие в начале и конце этой цепочки, заключаем, что

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Из первого равенства находим u = ln r, где ln r -- обычный натуральный логарифм положительного числа r. Второе равенство в (23) дает v = Arg z. Таким образом,

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и?, формула (24) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 рki, где k -- любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 рk, - р < arg z ? р,

где arg z -- главное значение аргумента. Тогда формула (24) примет вид

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции e z . Таким образом, для каждого фиксированного k формула (25) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной полуоси в полосу

Р + 2 рk < Im w < р + 2рk.

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

Например, ln i = ln 1 + iр/2 = iр/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Если приближаться к точке z = -- 1 по верхней полуплоскости у > 0, то; если по нижней, -- то.

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной полуоси и склеим их так, как показано на рис. 8. Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = ?,

располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и? функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = ? называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 8 наглядно демонстрирует причину того, что: если предположить, что точки -- 1 ± h, h > 0, находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h, к нулю, то предельные положения этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной полуоси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом и к оси ОХ. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = e iц

Ln z = ln r + i(ц + 2рk), и < ц < и + 2 р.

Формула (25) является частным случаем при и = - р. Производная каждой регулярной ветви f (z) логарифма находится по формуле, аналогичной формуле для производной логарифмической функции действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (e z)" = e z и формулы (19) производной обратной функции. Действительно, обратной к w = f(z) будет функция z = e w . Отсюда и из (19) получаем

Общая степенная и тригонометрические функции. Функция Жуковского

1. Общая степенная функция, где -- фиксированное комплексное число, определяется соотношением.

Полагая, получаем Ln z = ln r + i(ц + 2рk). Следовательно,

Отсюда видно, что при модуль принимает бесконечное множество значений. Таким образом, при функция будет бесконечнозначной.

Общая степенная функция в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей в тех же областях, что и логарифмическая; например в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь, выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства

где f (z) -- регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степенной функции:

2. Перейдем к тригонометрическим функциям. Для действительных значений х из формулы Эйлера следует, что

е i х = cos х + i sin x, е - i х = cos x -- i sin x.

Отсюда cos x = , sin x =. Эти формулы служат основой следующего определения.

Тригонометрические функции комплексного переменного z определяются равенствами

Определенные таким образом функции сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. Из периодичности функции e z следует, что функции sin z и cos z периодичны с периодом 2 р, a tg z и ctg z -- с периодом р. Функция sin z нечетна, a cos z -- четна. Действительно,

Аналогично доказывается четность функции cos z. Для функций, определенных равенствами (26), справедливы обычные тригонометрические соотношения. Например,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 и т.д. Все эти соотношения вытекают из (26).

Функции sin z и cos z аналитичны во всей плоскости С, причем имеют место обычные формулы дифференцирования:

(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.

Докажем, например, формулу для производной sinz:

Используя формулы для производной частного, получим

Однако не все свойства тригонометрических функций действительного переменного сохраняются при продолжении этих функций в комплексную плоскость. В частности, sinz и cosz могут принимать значения, по модулю превосходящие 1. Например,

3. Функции, обратные (26), называются обратными тригонометрическими функциями. Так как тригонометрические функции (26) периодичны, то обратные к ним функции будут бесконечнозначными. В силу того что функции (26) достаточно просто выражаются через показательные, обратные к ним функции удается выразить через логарифмы. Получим такое выражение, например, для w = Arccos z. Из определения этой функции имеем

откуда e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно e i w , находим (мы опускаем ± перед знаком квадратного корня, поскольку понимаем корень как двузначную функцию, принимающую оба соответствующих значения). Из последнего равенства получаем

В силу соотношения изменение знака перед корнем приводит к изменению знака перед логарифмом. Но корень принимает значения как с "+" так и с "--". Значит, и среди значений Arccos z будут значения как с "+", так и с " --" перед логарифмом. Поэтому знак "--" можно не писать:

Аналогичные формулы можно дать и для других обратных тригонометрических функций:

Из элементарных функций комплексного переменного отметим также гиперболические функции sh z, ch z, th z, и cth z, определяемые равенствами

Они весьма просто выражаются через тригонометрические функции:

sh z = -- i sin iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

и поэтому несущественно отличаются от последних.

Функцией Жуковского называется функция

Эта функция имеет важные применения в теории крыла самолета, а также весьма полезна при построении ряда конформных отображений. Она аналитична всюду в, кроме точек z = 0 и z = ?. Производная

существует всюду в, за исключением точек z = 0 и z = ?, и обращается в нуль при z = ±1. Поэтому отображение (30) конформно всюду, кроме точек 0, ±1 ,?.

Выясним, при каком условии две различные точки переходят в одну и ту же точку. Пусть z 1 ? z 2 и.

Отсюда следует, что.

Так как z 1 ? z 2 , то это равенство равносильно условию z l z 2 = 1.(31)

Поэтому для однолистности функции Жуковского в некоторой области D необходимо и достаточно, чтобы эта область не содержала пары различных точек, удовлетворяющих условию (31). Такими областями являются, например, внешность |z| > 1 единичного круга (при этом |z 1 z 2 | > 1) и внутренность |z| < 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

Чтобы наглядно представить себе отображение (30), выясним, в какие кривые оно переводит окружности (показаны на рис. 9а сплошными линиями) и лучи (показаны пунктирами). Положим z =. Тогда (30) перепишется в виде

откуда (32)

Рассмотрим образы окружностей r = r 0 . Из (32) следует

Возводя эти равенства в квадрат, складывая и полагая r = r 0 , получим

Уравнение (33) является уравнением эллипса с полуосями

Итак, образами окружностей |z| = r 0 в плоскости z будут эллипсы в плоскости w (рис. 9б). Если r 0 > 1, то a r 0 > 1, b r 0 > 0. Поэтому эллипсы будут стягиваться к отрезку [--1,1]. При больших r 0 разность a r 0 -- b r 0 = мала, и эллипсы мало отличаются от окружностей.

Чтобы получить образ лучей, преобразуем равенства (32) к виду

Возводя эти равенства в квадрат, вычитая из первого второе и полагая

Получим (34)

Уравнение (34) является уравнением гиперболы с полуосями,. Следовательно, лучи отображаются в части гипербол (рис. 9б). Таким образом, функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [-1,1].

Из (30) легко видеть, что w(z) = w(l/z). Функция w = 1/z взаимно-однозначно и конформно отображает внутренность круга |z| < 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Подобные документы

Сущность конформного отображения 1 и 2 рода, аналитической функции в заданной области. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции. Величина коэффициента растяжения в точке. Сохранение функции отличной от нуля по величине и напряжению.

презентация , добавлен 17.09.2013


Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.

презентация , добавлен 18.12.2014


Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.

презентация , добавлен 21.09.2013


Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

презентация , добавлен 14.11.2014


Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.

статья , добавлен 11.01.2004


Понятие производной, правила её применения, геометрический и физический смысл производной. Применение производной в науке и технике и о решении задач в этой области. Актуальность дифференциального исчисления в связи с научно-техническим прогрессом.

реферат , добавлен 17.05.2009


Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

контрольная работа , добавлен 07.09.2010


Понятие конформного отображения и его основные свойства. Основные принципы конформных отображений функций комплексного переменного, их гидродинамические аналогии и интерпретации. Применение метода конформных отображений в механике сплошных сред.

дипломная работа , добавлен 26.08.2014


Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.

презентация , добавлен 18.09.2013


Задача на нахождение модуля и аргумента заданных чисел, пример решения. Область дифференцируемости заданной функции, действительная часть производной. Правило для определения уравнения образа кривой. Нахождение действительной и мнимой части функции.