Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей

Тема: Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

Урок: Десятичная запись дробных чисел

Знаменатель дроби может быть выражен любым натуральным числом. Дробные числа, в которых знаменатель выражен числом 10; 100; 1000;…, где n , условились записывать без знаменателя. Любое дробное число, в знаменателе которого 10; 100; 1000 и т.д. (то есть единица с несколькими нулями), можно представить в виде десятичной записи (в виде десятичной дроби). Сначала пишут целую часть, затем числитель дробной части, и целую часть от дробной отделяют запятой.

Например,

Если целая часть отсутствует, т.е. дробь правильная, тогда целую часть записывают в виде 0.

Чтобы правильно записать десятичную дробь, числитель дробной части должен иметь столько же знаков, сколько нулей в дробной части.

1. Запишите в виде десятичной дроби.

2. Представить десятичную дробь в виде дроби или смешанного числа.

3. Прочитайте десятичные дроби.

12,4 - 12 целых 4 десятых;

0,3 - 0 целых 3 десятых;

1,14 - 1 целая 14 сотых;

2,07 - 2 целых 7 сотых;

0,06 - 0 целых 6 сотых;

0,25 - 0 целых 25 сотых;

1,234 - 1 целая 234 тысячных;

1,230 - 1 целая 230 тысячных;

1,034 - 1 целая 34 тысячных;

1,004 - 1 целая 4 тысячных;

1,030 - 1 целая 30 тысячных;

0,010101 - 0 целых 10101 миллионных.

4. Перенесите запятую в каждой цифре на 1 разряд влево и прочитайте числа.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Перенесите запятую в каждом из чисел на 1 разряд вправо и прочитайте получившееся число.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Выразите в метрах и сантиметрах.

3,28 м = 3 м + .

7. Выразите в тоннах и килограммах.

24,030 т = 24 т .

8. Запишите в виде десятичной дроби частное.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

9. Выразите в дм.

5 дм 6 см = 5 дм + ;

9 мм =

Из множества дробей, встречающихся в арифметике, отдельного внимания заслуживают такие, у которых в знаменателе стоит 10, 100, 1000 - в общем, любая степень десятки. У этих дробей есть специальное название и форма записи.

Десятичная дробь - это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Примеры десятичных дробей:

Зачем вообще потребовалось выделять такие дроби? Почему для них нужна собственная форма записи? На то есть как минимум три причины:

1. Десятичные дроби намного удобнее сравнивать. Вспомните: для сравнения обычных дробей их требуется вычесть друг из друга и, в частности, привести дроби к общему знаменателю. В десятичных дробях ничего подобного не требуется;
2. Сокращение вычислений. Десятичные дроби складываются и умножаются по собственным правилам, и после небольшой тренировки вы будете работать с ними намного быстрее, чем с обычными;
3. Удобство записи. В отличие от обычных дробей, десятичные записываются в одну строчку без потери наглядности.

Большинство калькуляторов также дают ответы именно в десятичных дробях. В некоторых случаях другой формат записи может привести к проблемам. Например, что, если потребовать в магазине сдачу в размере 2/3 рубля:)

Правила записи десятичных дробей

Основное преимущество десятичных дробей - удобная и наглядная запись. А именно:

Десятичная запись - это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

Например, 0,3 (читается: «ноль целых, 3 десятых»); 7,25 (7 целых, 25 сотых); 3,049 (3 целых, 49 тысячных). Все примеры взяты из предыдущего определения.

На письме в качестве десятичной точки обычно используется запятая. Здесь и далее на всем сайте тоже будет использоваться именно запятая.

Чтобы записать произвольную десятичную дробь в указанной форме, надо выполнить три простых шага:

1. Выписать отдельно числитель;
2. Сдвинуть десятичную точку влево на столько знаков, сколько нулей содержит знаменатель. Считать, что изначально десятичная точка стоит справа от всех цифр;
3. Если десятичная точка сдвинулась, а после нее в конце записи остались нули, их надо зачеркнуть.

Бывает, что на втором шаге у числителя не хватает цифр для завершения сдвига. В этом случае недостающие позиции заполняются нулями. Да и вообще, слева от любого числа можно без ущерба для здоровья приписывать любое количество нулей. Это некрасиво, но иногда полезно.

На первый взгляд, данный алгоритм может показаться довольно сложным. На самом деле все очень и очень просто - надо лишь немного потренироваться. Взгляните на примеры:

Задача. Для каждой дроби укажите ее десятичную запись:

Числитель первой дроби: 73. Сдвигаем десятичную точку на один знак (т.к. в знаменателе стоит 10) - получаем 7,3.

Числитель второй дроби: 9. Сдвигаем десятичную точку на два знака (т.к. в знаменателе стоит 100) - получаем 0,09. Пришлось дописать один ноль после десятичной точки и еще один - перед ней, чтобы не оставлять странную запись вида «,09».

Числитель третьей дроби: 10029. Сдвигаем десятичную точку на три знака (т.к. в знаменателе стоит 1000) - получим 10,029.

Числитель последней дроби: 10500. Снова сдвигаем точку на три знака - получим 10,500. В конце числа образовались лишние нули. Зачеркиваем их - получаем 10,5.

Обратите внимание на два последних примера: числа 10,029 и 10,5. Согласно правилам, нули справа надо зачеркнуть, как это сделано в последнем примере. Однако ни в коем случае нельзя поступать так с нулями, стоящими внутри числа (которые окружены другими цифрами). Именно поэтому мы получили 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

Итак, с определением и формой записи десятичных дробей разобрались. Теперь выясним, как переводить обычные дроби в десятичные - и наоборот.

Переход от обычных дробей к десятичным

Рассмотрим простую числовую дробь вида a /b . Можно воспользоваться основным свойством дроби и умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы внизу получилась степень десятки. Но прежде, чем это делать, прочитайте следующее:

Существуют знаменатели, которые не приводятся к степени десятки. Учитесь распознавать такие дроби, потому что с ними нельзя работать по алгоритму, описанному ниже.

Вот такие дела. Ну и как понять, приводится знаменатель к степени десятки или нет?

Ответ прост: разложите знаменатель на простые множители. Если в разложении присутствуют только множители 2 и 5, это число можно привести к степени десятки. Если найдутся другие числа (3, 7, 11 - что угодно), о степени десятки можно забыть.

Задача. Проверить, можно ли представить указанные дроби в виде десятичных:

Выпишем и разложим на множители знаменатели этих дробей:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутствуют только числа 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - есть «запретный» множитель 3. Дробь не представима в виде десятичной.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядке: кроме чисел 2 и 5 ничего нет. Дробь представима в виде десятичной.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Снова «всплыл» множитель 3. Представить в виде десятичной дроби нельзя.

Итак, со знаменателем разобрались - теперь рассмотрим весь алгоритм перехода к десятичным дробям:

1. Разложить знаменатель исходной дроби на множители и убедиться, что она вообще представима в виде десятичной. Т.е. проверить, чтобы в разложении присутствовали только множители 2 и 5. Иначе алгоритм не работает;
2. Сосчитать, сколько двоек и пятерок присутствует в разложении (других чисел там уже не будет, помните?). Подобрать такой дополнительный множитель, чтобы количество двоек и пятерок сравнялось.
3. Собственно, умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель - получим искомое представление, т.е. в знаменателе будет стоять степень десятки.

Разумеется, дополнительный множитель тоже будет разлагаться только на двойки и пятерки. При этом, чтобы не усложнять себе жизнь, следует выбирать наименьший такой множитель из всех возможных.

И еще: если в исходной дроби присутствует целая часть, обязательно переведите эту дробь в неправильную - и только затем применяйте описанный алгоритм.

Задача. Перевести данные числовые дроби в десятичные:

Разложим на множители знаменатель первой дроби: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следовательно, дробь представима в виде десятичной. В разложении присутствуют две двойки и ни одной пятерки, поэтому дополнительный множитель равен 5 2 = 25. С ним количество двоек и пятерок сравняется. Имеем:

Теперь разберемся со второй дробью. Для этого заметим, что 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - в разложении присутствует тройка, поэтому дробь не представима в виде десятичной.

Две последних дроби имеют знаменатели 5 (простое число) и 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 соответственно - везде присутствуют только двойки и пятерки. При этом в первом случае «для полного счастья» не хватает множителя 2, а во втором - 5. Получаем:

Переход от десятичных дробей к обычным

Обратное преобразование - от десятичной формы записи к обычной - выполняется намного проще. Здесь нет ограничений и специальных проверок, поэтому перевести десятичную дробь в классическую «двухэтажную» можно всегда.

Алгоритм перевода следующий:

1. Зачеркните все нули, стоящие в десятичной дроби слева, а также десятичную точку. Это будет числитель искомой дроби. Главное - не переусердствуйте и не зачеркните внутренние нули, окруженные другими цифрами;
2. Подсчитайте, сколько знаков стоит в исходной десятичной дроби после запятой. Возьмите цифру 1 и припишите справа столько нулей, сколько знаков вы насчитали. Это будет знаменатель;
3. Собственно, запишите дробь, числитель и знаменатель которой мы только что нашли. По возможности, сократите. Если в исходной дроби присутствовала целая часть, сейчас мы получим неправильную дробь, что очень удобно для дальнейших вычислений.

Задача. Перевести десятичные дроби в обычные: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Зачеркнем нули слева и запятые - получим следующие числа (это будут числители): 8; 3107; 225; 72008.

В первой и во второй дробях после запятой стоит по 3 знака, во второй - 2, а в третьей - целых 4 знака. Получим знаменатели: 1000; 1000; 100; 10000.

Наконец, объединим числители и знаменатели в обычные дроби:

Как видно из примеров, полученную дробь очень часто можно сократить. Еще раз отмечу, что любая десятичная дробь представима в виде обычной. Обратное преобразование можно выполнить не всегда.

Тема:

Цель: познакомить учащихся с новыми числами - десятичными дробями, формировать знания и

Тип урока:

Оборудование:

заданиями.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме "Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей."»

Тема: Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

Цель: познакомить учащихся с новыми числами – десятичными дробями, формировать знания и

владение методами математики; воспитывать культуру математического мышления.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютер у учителя, экран, мультимедийный проектор; на столах: листы с

заданиями.

Структура урока:

Организационный момент.

Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть новое знание, но, как вам известно, каждое новое знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому начнем с повторения.

Подготовка к изучению нового материала.

Решите анаграмму: дробь, угол, числитель, знаменатель.

Прочитайте, числа в таблице разрядов.

Из предложенных чисел выберите: натуральные числа, правильные дроби, неправильные дроби, смешанные числа.

Ознакомление с новым материалом.

	Наш урок будет посвящён Интересной особе одной. Слушайте меня внимательно, На вопросы отвечайте, Всё, ребята, подмечайте. Тема урока «Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей». Девиз урока: Знания имей отличные по теме «Дроби десятичные».
	Вспомним, как устроена десятичная система счисления. Рассмотрим таблицу разрядов и ответим на вопросы: Вопросы : Прочитайте числа, записанные в таблице. Как меняется положение единицы в каждой следующей строке по сравнению с предыдущей? Как меняется величина соответствующего числа? Какое арифметическое действие соответствует этому изменению? Вывод : перемещая единицу на один разряд вправо, мы каждый раз уменьшали соответствующее число в 10 раз и делали это, пока не дошли до последнего разряда – разряда единиц. А можно ли и единицу уменьшить в 10 раз? Конечно, Проблема: Но вот места для этого числа в нашей таблице разрядов пока нет.Подумайте, как надо изменить таблицу разрядов, чтобы в ней можно записать число .
	Рассуждаем, надо цифру 1 сдвинуть вправо на один разряд. Но справа от разряда единиц нет разрядов, значит надо добавить еще один столбец. Придумайте название для этого столбца: десятые. Аналогично рассуждая: (сотые) и : 10т. = (тысячные) и т.д.
	Так как мы рассуждали правильно, то у нас получается следующая таблица:
	2 единицы 3 десятых. А чтобы записать числа вне таблицы нам необходимо отделять каким – либо знаком целую часть от дробной. Договорились делать это с помощью запятой или точки. В нашей стране, как правило, используется запятая, а в США и некоторых других странах – точка. Числа читаем следующим образом:а) 2,3 или 2.3 (две целых три десятых или два, запятая, три или два, точка, три)
	Мы с вами сделали открытие. И это открытие – правило чтения и записи десятичных дробей. Оно у нас совпало с правилом, которое предложил автор учебника. Правило: Если в десятичной записи числа использованы запятая (или точка), то говорят, что число записано в виде десятичной дроби. Для краткости числа называют просто десятичными дробями. Заметим, что десятичная дробь – это не новый тип числа, а новый способ записи числа.
	В науке и промышленности, в сельском хозяйстве десятичные дроби используются значительно чаще, чем обыкновенные дроби. Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами. 1703 год - В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в учебнике «Арифметика, сиречь наука числительная».
	У нас есть все основания для того, чтобы выполнять задания по теме урока. Первое задание. Прочитайте число
	Прочитайте десятичные дроби Что можно сказать об этих трех числах? (они равны) Какой вывод можно сделать о нулях, которыми оканчивается десятичная дробь? (их можно не писать, они число не изменяют) В конце десятичной дроби можно приписывать нули или отбрасывать нули, то десятичная дробь от этого не изменится. Написана одна и та же дробь.
	Между целыми и дробными частями ставят запятую. При отсутствии какого – либо разряда долей, его заменяем 0 при записи числа. Количество цифр после запятой должно быть равно количеству нулей в знаменателе обыкновенной дроби. Записать десятичной дробью:
	Записать десятичные дроби под диктовку. 7 целых 8 десятых 2 целые 25 сотых 0 целых 92 сотые 12 целых 3 сотых 5 целых 187 тысячных 24 целые 24 тысячные 7 целых 7 десятых 7 целых 7 сотых 7 целых 7 тысячных 0 целых 5 десятитысячных Сейчас выполняем самостоятельную работу, при выполнении которой проверите свои знания по теме урока.
	Самостоятельная работа (5 минут)
	Проверь себя: Записать в виде десятичной дроби (в строчку); Проверить ответы по таблице, поставив каждому числу соответствующую букву (под каждым числом без знака препинания) Какое слово получилось? МОЛОДЕЦ
	Рефлексия
	Домашнее задание: №647 а), 648 ав), 649 а), 650 в)

Обыкновенную дробь (или смешанное число), у которой знаменатель является единицей с одним или более нулями (т. е. 10, 100, 1000 и т. д.):

можно записать в более простой форме: без знаменателя, разделяя целую и дробную части друг от друга запятой (при этом считают, что целая часть правильной дроби равна 0). Сначала записывается целая часть, затем ставится запятая, и после неё записывается дробная часть.:

Записанные в такой форме обыкновенные дроби (или смешанные числа) называются десятичными дробями .

Чтение и запись десятичных дробей

Десятичные дроби записывают по тем же правилам, по которым записывают натуральные числа в десятичной системе счисления. Это означает, что в десятичных дробях, как и в натуральных числах, каждая цифра выражает единицы, которые в десять раз больше соседних единиц, стоящих справа.

Рассмотрим следующую запись:

Цифра 8 означает простые единицы. Цифра 3 означает единицы, в 10 раз меньшие, чем простые единицы, т. е. десятые доли. 4 означает сотые доли, 2 - тысячные и т. д.

Цифры, которые стоят справа после запятой, называются десятичными знаками .

Читаются десятичные дроби следующим образом: сначала называется целая часть, затем – дробная. При чтении целой части, она всегда должна отвечать на вопрос: сколько целых единиц содержится в целой части? . К ответу добавляют слово целых (или целая), в зависимости от количества целых единиц. Например, одна целая, две целых, три целых и т. д. При чтении дробной части называется количество долей и в конце добавляют название тех долей, которыми дробная часть оканчивается:

3,1 читается так: три целых одна десятая.

2,017 читается так: две целых семнадцать тысячных.

Чтобы лучше понять правила записи и чтения десятичных дробей, рассмотрим таблицу разрядов и приведённые в ней примеры записи чисел:

Обратите внимание, после запятой в записи десятичной дроби получается столько цифр, сколько нулей содержит знаменатель соответствующей ей обыкновенной дроби:

Урок в 5 классе, учитель-Шабаршова Екатерина Анатольевна.

Тема урока: Десятичные дроби. Чтение и запись десятичных дробей.

Задачи урока:

Создать условия для изучения и повторения данной темы учащимися;

Развитие памяти, логики, математического мышления;

Воспитание интереса к предмету.

Цель урока:

Повторить запись и чтение десятичных дробей;

преобразование десятичной дроби в обыкновенную и наоборот, обыкновенной дроби в десятичную.

Тип урока: комбинированный;

Метод обучения : словесный, практический, наглядный.

Форма организации : коллективная, индивидуальная;

Содержание деятельности : историческая справка, опрос с помощью сигнальных карточек(устно), решение заданий по учебнику, устный счет «Найди пару», самостоятельная работа.

Оборудование :сигнальные карточки, стикеры для рефлексии, карточки для самооценки, карточки с заданиями для самостоятельной работе.

План урока :

Организационный момент. Эмоциональный настрой.

Актуализация знаний. Историческая справка.

Устный счет «Найди пару».

Работа по учебнику

Самостоятельная работа.

Оценивание учащихся.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Ход урока:

Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Давайте поприветствуем друг друга! Повернитесь лицом друг у другу и улыбнитесь.

Молодцы! И именно на этой приятной ноте, начнем наш сегодняшний урок!

Намеренное деление на группы в соответствии с индивидуальными особенностями учащихся.

Запишите дату в тетрадь, классная работа. Хочу обратить ваше внимание на раздаточный материал на ваших партах, стикеры пока уберем в сторонку, а листы оценивания вам пригодятся с первого задания, как только выполним очередное задание, вы должны в листах сделать самооценку при выполнении этого задания.

Актуализация знаний.

Ребята, на последних уроках мы с вами начали изучать тему «Десятичная дробь. Чтение и запись десятичной дроби». Но мы с вами начали изучать тему, не узнав ее истории, в этом нам поможет ученик нашего класса Шабаршов Анатолий, который подготовил для нас историческую справку.

Историческая справка.

Впервые понятие абстрактной десятичной дроби возникло в 15 ст. Его ввел видающийся математик и астроном ал – Коши (полное имя Джемиад ибн – Масуд ал – Коши ) в работе «Ключ к арифметике» (1427 г) . Открытие ал – Коши в Европе стало известным только через 300 лет.

Ничего, не зная об открытии ал – Коши, десятичные дроби открыл второй раз, приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде « Децималь» (1585 г).

В России учение о десятичных дробях впервые выдал Л.П. Магницкий в своей « Арифметике» - первом российском учебнике математике. (1703 г)

Отделять целую часть от дробной предлагали по – разному. Ал – Коши целую и дробную части писал в один ряд, хотя записывал разными чернилами, или ставил между ними вертикальную черту. С. Стевин для отделения целой части от дробной ставил нуль в кружочке. Принятую в наше время запятую предложил немецкий астроном Й. Кеплер (1571 – 1630).

А теперь давайте вспомним некоторые правила и свойства десятичных дробей.

Правила очень простые, если вы согласны с утверждением, то подымаете красную сигнальную карточку, если же нет, то синию. Начнем!

Для записи десятичных дробей используется дробная черта;(нет)

Для записи десятичных дробей используется запятая;(да)

Целая часть дроби находится перед запятой;(да)

Если в конце десятичной дроби отбросить нули, то значение дроби изменится;(нет)

Знаки стоящие после запятой называются десятичными знаками. (да).

2.Молодцы! А сейчас откройте учебники на странице 197, № 942.(работа у доски)

Устный счет «Найди пару»

0,1

0,5

0,2

0,75

0,04

0,05

Работа по учебнику.

№936 (1) – задание первого уровня сложности

№951 (1,2) – задание второго уровня сложности

№956(1-3) – задание третьего уровня сложности

Задания рассчитаны индивидуальные особенности всех участников группы

Самостоятельная работа.

Вариант 1

Запишите в виде десятичной дроби

; ; ;

Вариант 2

Запишите частное в виде обыкновенной дроби и переведите в десятичную

5: 100; 5749:100; 34:1000; 324:10.

Вариант 3

Приведите смешанные числа к знаменателю 100 и запишите соответствующие десятичные дроби

Задания в самостоятельной работе составлены с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Варианты соответствуют уровням сложности.

Оценивание учащихся.

Ученики выставляют себе самостоятельно оценки за урок в листах оценивания и сдают учителю.

Рефлексия.

Молодцы,ребята, сегодня все хорошо поработали, итак, давайте подведем итоги:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Какие знания и умения вы закрепили сегодня на уроке?

Понравился вам урок?

Стикеры на столе, ученики записывают свое отношение к уроку и наклеивают на приготовленную доску объявлений.

Домашнее задание

№950,№945

ПРИЛОЖЕНИЯ

Задание №

Отлично

Хорошо

Смог(ла) бы лучше

Общая оценка за урок:

Лист оценивания уч-ка (цы):____________________________________________________

Задание №

Отлично

Хорошо

Смог(ла) бы лучше