Раздел i. множества, функции, отношения
Пусть r Í Х х Y .
Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, у которого каждому элементу соответствует ровно один такой, что пара принадлежит отношению или такого не существует совсем : или.
Функциональное отношение – это такое бинарное отношение r, длякоторого выполняется: .
Всюду определённое отношение – бинарное отношение r , для которого D r =Х ("нет одиноких х ").
Сюръективное отношение – бинарное отношение r , для которого J r = Y ("нет одиноких y ").
Инъективное отношение – бинарное отношение, в котором разным х соответствуют разные у .
Биекция – функциональное, всюду определённое, инъективное, сюръективное отношение, задаёт взаимно однозначное соответствие множеств.
Например :
Пусть r = { (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, y > 0 }.
Отношение r - функционально,
не всюду определено ("есть одинокие х "),
не инъективно (есть разные х, у ),
не сюръективно ("есть одинокие у "),
не биекция.
Например:
Пусть Ã= {(x,y) Î R 2 | y = x+1}
Отношение Ã- функционально,
Отношение Ã- всюду определено ("нет одиноких х "),
Отношение Ã- инъективно (нет разных х, которым соответствуют одинаковые у ),
Отношение Ã- сюръективно ("нет одиноких у "),
Отношение Ã- биективно, взаимно-однородное соответствие.
Например:
Пусть j={(1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)} задано на множестве N 4 .
Отношение j - не функционально, x=1 соответствует три y: (1,2), (1,3), (1,4)
Отношение j - не всюду определенно D j ={1,2,3}¹ N 4
Отношение j - не сюръективно I j ={1,2,3}¹ N 4
Отношение j - не инъективно, разным x соответствуют одинаковые y, например (2,3) и (1,3).
Задание к лабораторной работе
1. Заданы множества N1 и N2 . Вычислить множества:
(N1 хN2) Ç (N2 хN1) ;
(N1 хN2) È (N2 хN1) ;
(N1 Ç N2) x(N1 Ç N2) ;
(N1 È N2) x(N1 È N2) ,
где N1 = { цифры номера зачетной книжки, три последние};
N2 = { цифры даты и номера месяца рождения}.
2. Отношения r иg заданы на множествеN 6 ={1,2,3,4,5,6}.
Описать отношения r ,g ,r -1 , r ○g, r - 1 ○g списком пар.
Найти матрицы отношений r иg .
Для каждого отношения определить область определения и область значений.
Определить свойства отношений.
Выделить отношения эквивалентности и построить классы эквивалентности.
Выделить отношения порядка и классифицировать их.
1) r = { (m ,n ) | m > n }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}
2) r = { (m ,n ) | (m - n) делится на 2}
g = { (m ,n ) | m делитель n }
3) r = { (m ,n ) | m < n }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3}
4) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}
g = { (m ,n ) | m 2 =n }
5) r = { (m ,n ) | m / n - степень 2 }
g = { (m ,n ) | m = n }
6) r = { (m ,n ) | m / n - четно}
g = { (m ,n ) | m ³n }
7) r = { (m ,n ) | m / n - нечетно }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4}
8) r = { (m ,n ) | m * n - четно }
g = { (m ,n ) | m £n }
9) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 5}
g = { (m ,n ) | m делится наn }
10) r = { (m ,n ) | m - четно, n - четно}
g = { (m ,n ) | m делительn }
11) r = { (m ,n ) | m = n }
g = { (m ,n ) | (m + n) £5 }
12) r ={ (m ,n ) | m и n имеют одинаковый остаток от деления на 3}
g = { (m ,n ) | (m -n) ³2}
13) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 2 }
g = { (m ,n ) | 2 £(m -n) £4}
14) r = { (m ,n ) | (m + n) делится нацело на 3 }
g = { (m ,n ) | m ¹n }
15) r = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель }
g = { (m ,n ) | m 2 £n }
16) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 2 }
g = { (m ,n ) | m < n +2 }
17) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 4 }
g = { (m ,n ) | m £n }
18) r = { (m ,n ) | m делится нацело наn }
g = { (m ,n ) | m ¹n , m- четно}
19) r = { (m ,n ) | сравнение по модулю 3 }
g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}
20) r = { (m ,n ) | (m - n) делится нацело на 4 }
g = { (m ,n ) | m ¹n }
21) r = { (m ,n ) | m - нечетно, n - нечетно}
g = { (m ,n ) | m £n , n- четно}
22) r = { (m ,n ) | m и n имеют нечетный остаток от деления на 3 }
g = { (m ,n ) | (m -n) ³1}
23) r = { (m ,n ) | m * n - нечетно }
g = { (m ,n ) | сравнение по модулю 2}
24) r = { (m ,n ) | m * n - четно }
g = { (m ,n ) | 1 £(m -n) £3}
25) r = { (m ,n ) | (m + n) - четно}
g = { (m ,n ) | m не делится нацело на n }
26) r = { (m ,n ) | m = n }
g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }
27) r = { (m ,n ) | (m - n)- четно}
g = { (m ,n ) | m делитель n }
28) r = { (m ,n ) | (m -n) ³2}
g = { (m ,n ) | m делится нацело на n }
29) r = { (m ,n ) | m 2 ³ n }
g = { (m ,n ) | m / n - нечетно}
30) r = { (m ,n ) | m ³n, m - четно}
g = { (m ,n ) | m и n имеют общий делитель, отличный от 1}
3. Определить является ли заданное отношение f - функциональным, всюду определенным, инъективным, сюръективным, биекцией (R - множество вещественных чисел). Построить график отношения, определить область определения и область значений.
Выполнить это же задание для отношений r и g из пункта 3 лабораторной работы.
1) f={ (x, y) Î R 2 | y=1/x +7x }
2) f={ (x, y) Î R 2 | x ³y }
3) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x }
4) f={ (x, y) Î R 2 | y ³x, x ³ 0 }
5) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1 }
6) f={ (x, y) Î R 2 | 2 | y | + | x | = 1 }
7) f={ (x, y) Î R 2 | x + y £ 1 }
8) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 }
9) f={ (x, y) Î R 2 | y = x 3 + 1}
10) f={ (x, y) Î R 2 | y = -x 2 }
11) f={ (x, y) Î R 2 | | y | + | x | = 1 }
12) f={ (x, y) Î R 2 | x = y -2 }
13) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 ³1, y > 0 }
14) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 = 1, x > 0 }
15) f={ (x, y) Î R 2 | y 2 + x 2 £ 1, x > 0 }
16) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 2 ,x ³ 0 }
17) f={ (x, y) Î R 2 | y = sin(3x + p) }
18) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 /cos x }
19) f={ (x, y) Î R 2 | y = 2| x | + 3 }
20) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 2x + 1| }
21) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3 x }
22) f={ (x, y) Î R 2 | y = e -x }
23) f ={ (x, y) Î R 2 | y = e | x | }
24) f={ (x, y) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 }
25) f={ (x, y) Î R 2 | y = 3x 2 - 2 }
26) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x + 2) }
27) f={ (x, y) Î R 2 | y = ln(2x) - 2 }
28) f={ (x, y) Î R 2 | y = | 4x -1| + 2 }
29) f={ (x, y) Î R 2 | y = 1 / (x 2 +2x-5)}
30) f={ (x, y) Î R 2 | x = y 3 , y ³ - 2 }.
Контрольные вопросы
2.Определение бинарного отношения.
3.Способы описания бинарных отношений.
4.Область определения и область значений.
5.Свойства бинарных отношений.
6.Отношение эквивалентности и классы эквивалентности.
7.Отношения порядка: строгого и нестрого, полного и частичного.
8.Классы вычетов по модулю m.
9.Функциональные отношения.
10. Инъекция, сюръекция, биекция.
Лабораторная работа № 3
Сущность и классификация экономических отношений
С момента своего выделения из мира дикой природы, человек развивается как биосоциальное существо. Это определяет условия его развития и становления. Основным стимулом развития человека и общества являются потребности. Для удовлетворения этих потребностей человек должен трудиться.
Труд – это сознательная деятельность человека по созданию благ с целью удовлетворения потребностей или получения выгоды.
Чем больше возрастали потребности, тем сложнее становился трудовой процесс. Он требовал все больших затрат ресурсов и все более слаженных действий всех членов общества. Благодаря труду формировались как основные черты внешнего облика современного человека, так и особенности человека как социального существа. Труд перешел в фазу экономической деятельности.
Экономической деятельностью называют деятельность человека по созданию, перераспределению, обмену и использованию материальных и духовных благ.
Экономическая деятельность сопряжена с необходимостью вступать в какие-то взаимоотношения всех участников данного процесса. Эти отношения получили название экономических.
Определение 1
Экономическими отношениями называют систему взаимоотношений физических и юридических лиц, формирующихся в процессе производства. перераспределения, обмена и потребления каких-либо благ.
Данные отношения имеют различные формы и длительность. Поэтому существует несколько вариантов их классификации. Все зависит от избираемого критерия. Критерием может быть время, периодичность (регулярность), степень выгоды, особенности участников данных отношений и т.д. наиболее часто упоминаются следующие виды экономических отношений :
- международные и внутригосударственные;
- взаимовыгодные и дискриминационные (приносящие пользу одной стороне и ущемляющие интересы другой);
- добровольные и принудительные;
- устойчивые регулярные и эпизодические (кратковременные);
- кредитно-финансовые и инвестиционные;
- отношения купли-продажи;
- собственнические отношения и пр.
В процессе экономической деятельности каждый из участников отношений может выступать в нескольких ролях. Условно выделяют три группы носителей экономических отношений. Таковыми являются:
- производители и потребители экономических благ;
- продавцы и покупатели экономических благ;
- владельцы и пользователи благ.
Иногда отдельно выделяют категорию посредников. Но с другой стороны посредники просто бывают одновременно в нескольких ипостасях. Поэтому система экономических отношений характеризуется большим разнообразием форм и проявлений.
Существует еще одна классификация экономических отношений. Критерием выступают особенности происходящих процессов и целей каждого из видов отношений. Этими видами выступают организация трудовой деятельности, организация хозяйственной деятельности и управление хозяйственно-экономической деятельностью.
Базисом для формирования экономических отношений всех уровней и видов является право собственности на ресурсы и средства производства. Они определяют право собственности на произведенные блага. Следующим системообразующим фактором являются принципы распределения произведенных благ. Эти два момента легли в основу формирования типов экономических систем.
Функции организационно-экономических отношений
Определение 2
Организационно-экономическими отношениями называются отношения по формированию условий для максимально эффективного использования ресурсов и снижения уровня затрат за счет организации форм производства.
Функцией данной формы экономических отношений является максимальное использование относительных экономических преимуществ и рациональное использование наявных возможностей. К основным формам организационно-экономических отношений относят концентрацию (укрупнение) производства, комбинирование (сочетание на одном предприятии производств разных отраслей), специализацию и кооперирование (для повышения производительности). Законченной формой организационно-экономических отношений считается формирование территориально-производительных комплексов. Дополнительный экономический эффект получается за счет удачного территориального расположения предприятий и рационального использования инфраструктуры.
Советские российские экономисты и экономгеографы в средине $ХХ$ века разработали теорию энерго-производственных циклов (ЭПЦ). Они предлагали так организовать производственные процессы на определенной территории, чтобы использовать единый поток сырья и энергии для производства целого комплекса продукции. Это позволило бы резко снизить себестоимость продукции и уменьшить отходность производства. Организационно-экономические отношения непосредственно связаны с управлением экономикой.
Функции социально-экономических отношений
Определение 3
Социально-экономическими отношениями называются отношения между экономическими агентами, в основе которых лежит право собственности.
Собственностью называют систему отношений между людьми, проявляющуюся в их отношении к вещам - правом ими распоряжаться.
Функцией социально-экономических отношений является упорядочение собственнических отношений в соответствии с нормами данного общества. Ведь правовые отношения строятся, с одной стороны, на основе права собственности, а с другой – на основе волевых имущественных отношений. Эти взаимодействия двух сторон принимают форму как моральных норм, так и законодательных (юридически закрепленных).
Социально-экономические отношения зависят от социальной формации, в которой развиваются. Они служат интересам правящего класса в данном конкретном обществе. Социально-экономические отношения обеспечивают переход права собственности от одного лица к другому (обмен, купля-продажа и пр.).
Функции международных экономических отношений
Международные экономические отношения выполняют функцию согласования экономической деятельности стран мира. Они несут характер всех трех основных форм экономических отношений - управления экономикой, организационно-экономических и социально-экономических. Особенно актуально это в настоящее время в связи с разнообразием моделей смешанной экономической системы.
Организационно-экономическая сторона международных отношений отвечает за расширение международного сотрудничества на основе интеграционных процессов. Социально-экономический аспект международных отношений состоит в стремлении к всеобщему повышению уровня благосостояния населения всех стран мира и снижению социальной напряженности в мировой экономике. Управление мировой экономикой направлено на снижение противоречий между национальными экономиками и снижении влияния мировых инфляционных и кризисных явлений.
Общение всегда рассматривалось как полифункциональный процесс. Функции общения психологи определяют по разным критериям: эмоциональная, информационная, социализирующая, связующая, трансляционная, направленная на самопознание (А. В. Мудрик), установление общности, самоопределение (А. Б. Добрович), самовыражение (А. А. Брудный), сплочение и др. Чаще всего в психологии функции общения рассматривают в соответствии с моделью отношений "человек-деятельность-общество".
Можно выделить пять основных его функций: прагматическая, формирующая, подтверждающая, организация и поддержание межличностных отношений, внутриличностная (рис. 7).
В прагматической функции общение выступает как важнейшее условие объединения людей в процессе любой совместной деятельности. О том, какие разрушительные последствия для деятельности людей имеет невыполнение этого условия, повествуется в знаменитом библейском сюжете о строительстве Вавилонской башни.
Рис. 7.
Большая роль принадлежит формирующей функции общения. Общение ребенка и взрослого это не просто процесс передачи первому суммы умений, навыков и знаний, которые он механически усваивает, а сложный процесс взаимного влияния, обогащения и изменения. Жизненно необходимая роль общения ярко проявляется в следующем примере. В 30-х гг. XX в. в США был проведен эксперимент в двух клиниках, в которых дети лечились от серьезных, плохо излечимых заболеваний. Условия в обеих клиниках были одинаковые, но с некоторым различием: в одной больнице родственников к малышам не пускали, опасаясь инфекции, а в другой – в определенные часы родители могли пообщаться и поиграть с ребенком в специально отведенной комнате. Через несколько месяцев сравнили показатели эффективности лечения. В первом отделении коэффициент смертности приблизился к одной трети, несмотря на усилия врачей. Во втором отделении, где малышей лечили теми же средствами и методами, не умер ни один ребенок.
Функция подтверждения в процессе общения дает возможность познать, утвердить себя. Желая утвердиться в своем существовании и своей ценности, человек ищет точку опоры в другом человеке. Повседневный опыт человеческого общения изобилует процедурами, организованными по принципу подтверждения: ритуалы знакомства, приветствия, именования, оказание различных знаков внимания. Известный английский психиатр Р. Д. Лейнг видел в не подтверждении универсальный источник многих психических заболеваний, прежде всего – шизофрении.
Межличностная для любого человека связано с оцениванием людей и установлением определенных эмоциональных отношений – либо позитивных, либо негативных. Поэтому эмоциональное отношение к другому человеку может быть выражено в терминах "симпатии – антипатии", что накладывает свой отпечаток не только на личностное, но и на деловое общение.
Внутриличностная функция рассматривается как универсальный способ мышления человека. Л. С. Выготский отмечал в связи с этим, что "человек и наедине с самим собой сохраняет функцию общения".
Итак, ведущее значение общения в жизнедеятельности человека состоит в том, что оно является средством организации совместной деятельности людей и способом удовлетворения потребности человека в другом человеке, живом их контакте.
Общение как социально-психологический феномен – это контакт между людьми, который осуществляется посредством языка и речи, имеет разные формы проявления. Язык – система словесных знаков, средство, с помощью которого осуществляется общение между людьми. Использование языка с целью общения людей называют речью. В зависимости от особенностей общения выделяют различные его виды (рис. 8).
По контакту с собеседником общение может быть непосредственным и опосредованным.
Непосредственное общение (прямое) – это естественное общение, когда субъекты взаимодействия находятся рядом и общаются посредством речи, мимики и жестов.
Рис. 8.
Данный вид общения является наиболее полноценным, потому что индивиды в процессе его получают максимальную информацию друг о друге.
Опосредованное (косвенное) общение осуществляется в ситуациях, когда индивиды отдалены друг от друга временем или расстоянием. Например: разговор по телефону, переписка. Опосредованное общение это неполный психологический контакт, когда обратная связь затруднена.
Общение может быть межличностным или массовым. Массовое общение представляет собой множественные контакты незнакомых людей, а также коммуникацию, опосредованную различными видами массовой информации. Оно может быть прямым и опосредованным. Прямое массовое общение наблюдается на митингах, собраниях, демонстрациях, во всех больших социальных группах: толпе, публике, аудитории. Опосредованное массовое общение имеет односторонний характер и связано с массовой культурой и средствами массовой коммуникации.
По критерию равноправия партнеров в межличностном общении (рис. 9) выделяют два типа: диалогическое и монологическое.
Диалогическое общение – равноправное субъект-субъектное взаимодействие, имеющее целью взаимное познание, стремление к реализации целей каждого партнера.
Монологическое общение реализуется при неравноправных позициях партнеров и представляет собой субъект-объектные отношения. Оно может быть императивным и манипулятивным. Императивное общение – авторитарная, директивная форма взаимодействия с партнером с целью достижения контроля над его поведением, установками, мыслями и принуждения к определенным действиям или решениям. Причем цель эта не завуалирована. Манипулятивное общение – форма межличностного общения, при которой воздействие на партнера по общению осуществляется скрытно для достижения своих намерений.
Рис. 9.
Выделяют два типа коммуникаций – ролевую и личностную. В ролевом общении люди действуют, исходя из занимаемого статуса. Например, ролевым будет общение учителя с учениками, начальника цеха с рабочими и т.д. Ролевое общение регламентировано принятыми в обществе правилами и спецификой обращения. Личностное общение зависит от индивидуальных особенностей людей и взаимоотношений между ними.
Общение может быть кратковременным или длительным в зависимости от целей, содержания деятельности, индивидуальных особенностей собеседников, их симпатий, антипатий и т.д.
Обмен информацией может происходить посредством вербального и невербального взаимодействия. Вербальное общение происходит посредством речи, невербальное – с помощью паралингвистических средств передачи информации (громкость речи, тембр голоса, жесты, мимика, позы).
Общение осуществляется на разных уровнях. Уровни общения определяются общей культурой взаимодействующих объектов, их индивидуальными и личностными характеристиками, особенностями ситуации, социальным контролем, ценностными ориентациями общающихся, их отношением друг к другу (рис. 10).
Рис. 10.
Самый примитивный уровень общения – фатический (от лат. fatuus – глупый). Он предполагает простой обмен репликами для поддержания разговора, не имеет глубокого смысла. Такое общение необходимо в стандартизированных условиях либо определяется этикетными нормами.
Информационный уровень общения предполагает обмен интересной для собеседников новой информацией, являющейся источником эмоциональной, мыслительной, поведенческой активности человека.
Личностный уровень общения характеризует такое взаимодействие, при котором субъекты способны к глубокому самораскрытию и постижению сущности другого человека, самого себя и окружающего мира. Он построен на позитивном отношении к себе, другим людям и окружающему миру в целом. Это высший духовный уровень общения.
Пусть E произвольное множество и пусть декартова степень равняется: E n =ExEx…E {n раз}, объект f(x 1 ,…,x n): E n →E есть n местная функция f n или функция n переменных определённая на множестве E. Нульместная функция есть константа из E.
Определение : Пусть F есть некоторое множество функций из P E (множество всех функций определённых на E), тогда:
1. Всякая функция из E есть суперпозиция над F.
2. Если функция f(x 1 ,…,x n) принадлежит F и каждая из A 1 ,…,A n есть либо суперпозиция над F либо переменная, то f(A 1 ,…,A n) есть суперпозиция над F.
Замечание : Суперпозиция над F есть обычная подстановка построенная из функций множества F. Суперпозиция над F допускает переименование переменных.
Определение : Класс M функций из P E функционально замкнут, если вместе с любыми своими функциями класс M содержит и любую их суперпозицию.
Определение : Замыкание [M] множества функций M из P E есть множество всех суперпозиций над M.
Замечание
:
1. M принадлежит [M].
2. [[M]]=[M](свойство идемпотентности).
3. M 1 принадлежит M 2 следует, что принадлежит .
Обозначение
: D(f) – область определения функции f.
R(f), Im(f) – область значений функции f.
Пусть A 1 ,…,A n – произвольные множества. Отношение ρ есть некоторое подмножество декартова произведения A 1 xA 2 x…xA n ρ ⊆A 1 xA 2 x…xA n .
Значение отношения ρ может быть истинным или ложным:
— 1 означает принадлежность набора (a 1 ,…, a n) ∈ ρ декартову произведению.
— 0 – наоборот.
Пусть E- произвольное множество.
Определение
: n-арное (n-местное) отношение определённое на множестве E есть подмножество ρ ⊆E n =Ex…xE (n раз).
Замечание : Возможно предикатное от ρ(x 1 ,…, x n) и множественная (x 1 ,…, x n) принадлежит ρ записи для отношения ρ. (Предикат есть отношение). Пусть R E есть класс всех отношений определённых на множестве E.
Замечание
: Предикат (отношение), определенный на множестве Е, есть функция, определенная на множестве Е принимающая только два значения [И,Л или T,F или 1,0].
Множество истинности предиката, есть множество всех тех наборов на котором предикат истинен.
Введем следующие операции (Мальцева):
1) ζρ(x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ ζ (x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ(x 2 ,x 3 ,…,x n ,x 1) – циклическая перестановка аргументов.
2) τρ(x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ τ (x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ(x 2 ,x 1 ,x 3 ,…,x n) – транспозиция (перестановка аргументов x 1 и x 2).
3) Δρ(x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ Δ (x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ(x 1 ,x 1 ,x 2 ,…,x n-1) – отождествление двух первых аргументов.
4) ∇ρ(x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ ∇ (x 1 ,x 2 ,…,x n) = ρ(x 2 ,…,x n+1) – введение фиктивной переменной.
5) ρ(x 1 , x 2 ,…,x n)*δ(x 1 , x 2 ,…,x m) = ρ * (x 1 ,…,x n+m-2) =
= {(a 1 ,…,a n+m-2) ∈ E n+m-2: ∃ a ∈ E, (a 1 ,…,a n-1 ,a) ∈ ρ & (a,a n ,…,a n+m-2) ∈ δ} – свертка отношений δ и ρ.
Замечание :
1) С помощью операций ζ, τ можно получить произвольную перестановку переменных.
2) С помощью операций ζ, τ, Δ отождествленных переменных может быть осуществлена на ∀ аргументах местах отношения.
3) С помощью операций ζ, τ, ∇ — фиктивные переменные могут быть введены на ∀ аргументых местах отношения.
4) С помощью ζ, τ, * свертка может быть осуществлена по ∀ переменным в обоих отношениях.
5) Кроме перечисленных в теории и практике программирования могут вводится и другие операции над отношениями.
Упражнения.
1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i вычислить +++…, +++…, +++…, +++…
2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4j и cos 5j .
Лекция 3.
- СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Определение. Будем говорить, что на множестве Х задано бинарное отношение R , если " x, y Î X мы можем определить (по какому-нибудь правилу) находятся эти элементы в отношении R или нет.
Определим понятие отношения более строго.
Введем понятие декартова (прямого) произведение A´B произвольных множеств A и B.
По определению A´B = { (a, b), a Î A , bÎ B}. Аналогично определяется декартово произведение 3-х, 4-х и произвольного числа множеств. По определению A´A´ …´A = A n .
Определения .
1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S Í A´B. Тот факт, что элементы aÎ A, bÎ B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) Î S или в виде aSb.
2. Естественным образом для соответствий S 1 и S 2 определяются S 1 ∩S 2 и S 1 U S 2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S 1 Í S 2 . Так S 1 Í S 2 Û
из a S 1 b Þ a S 2 b.
3. Для соответствий S 1 Í A´B и S 2 Í B´C определим композицию соответствий S 1 *S 2 Í A´С. Будем считать, что для элементов aÎ A, сÎ С по определению a S 1 *S 2 с Û $ bÎ B такой, что a S 1 b и b S 2 с.
4. Для соответствия S Í A´B определим соответствие
S -1 Í B´A так: по определению bS -1 a Û a S b.
5. Пусть по определению соответствие D A Í A´A,
D A ={(a,a), aÎ A}.
6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B ), если " aÎ A $! bÎ B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF 1 *F 2 с можно записать в виде с = (aF 1)F 2 . Композиция F 2 F 1 функций означает по определению, что (F 2 F 1)(a)= F 2 (F 1 (a)). Таким образом, F 2 F 1 = F 1 *F 2 .
7. Для отображения F из A в B образом подмножества A 1 Í A
называется подмножество F(A 1)= {F(a)| aÎ A 1 } Í B, а прообразом подмножества B 1 Í B называется подмножество
F -1 (B 1)= { aÎ A | F(a) Î B 1 } Í A .
8. Отображение F из A в B называется инъекцией , если из
a 1 ¹ a 2 Þ Fa 1 ¹ Fa 2 .
9. Отображение F из A в B называется сюръекцией , если
" bÎ B $ aÎ A такой, что Fa = b.
10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением , если F – инъекция и сюръекция одновременно.
11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой .
12. Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R Í X´X. Тот факт, что элементы x, y Î X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) Î R или в виде xRy.
