Вписанные и описанные конусы. Сфера, вписанная в цилиндр Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей)

Like Share 885 Views

Презентация уроков по геометрии 11 класс. Сфера. Учитель математики МОУ лицея №18 И.В.Дымова. Презентацию выполнила Свинцова Катерина, уч-ца 11-4кл. Оглавление:. 2. оглавление 3. введение 13. определения сферы

Download Presentation

Сфера

E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

No related presentations.

Presentation Transcript

Шар)Существует несколько определений сфере: 1. Замкнутая поверхность. 2. Область действия, пределы распространения чего – либо. (Например, сфера действия тяготения). 3. Обстановка, среда, общественное окружение. (Например, сфера обслуживания)

Данная точка называется центром сферы (точка O), а данное расстояние – радиусом сферы(латинская R). См рис. 1 Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Рис. 1

Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг диаметра. См рис. 2 Часть пространства, находящуюся внутри сферы, называют шаром. См рис. 3 Рис. 2 Центр, радиус и диаметр сферы называются так же центром, диаметром и радиусом шара. Рис. 3

Математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Сферу, дает в сечении некоторую окружность; При пересечении двух больших кругов на сфере образуют четыресферических двуугольника. Таких как на рис.4. Рис. 4

Пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемьсферических треугольников.См. рис. 5 Рис. 5

Треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2П. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3П и больше П. Разность s-П=Е, где s-сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком.

Вполне определяется заданием двух чисел – эти числа координаты. Введение координат на сфере позволяет проводить исследования сферических фигур аналогичными методами геометрии. Так, два уравнения

Определяют некоторую линию на сфере. Длинна дуги М1 и М2 этой линии вычисляется по формуле Где t1и t2– значение параметра t, соответствующие концам М1и М2 дуги М1М2. На рис. 6 Рис. 6

Математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Пусть А, В, С – углы a, b, c – противолежащие им стороны сферического треугольника АВС Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами: sin a / sin A=sin b / sin B=sin c /sin C, cos a=cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B=cos b sin c – sin b cos c cos A, Sin A cos b=cos B sin C + sin B cos C cos a;

Cизмеряются соответствующими центральными углами, длинны этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R– радиус сферы. Меняя обозначения углов и сторон по правилу круговой перестановки можно написать другие формулы сферической тригонометрии, аналогичные указанным.Эти формулы позволяют по любым трем элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

Выведем уравнение сферы радиуса Rс центром С (x0;y0;z0). (рис. 7) Расстояние от произвольной точки М (x;y;z) до точки с вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС2=R2, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (1) Если же точка М (x; y; z) не лежит на данной прямой сферы, то МС2 не равняется R2, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Рис. 7

Системе координатуравнение сферы радиуса R с центром С (x0; y0; z0)имеет вид (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

Плоскости

Расстоянием от ее центра до плоскости а – буквой d. Введем систему координат: плоскость Оxy совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Оz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение x2 + y2 + (z – d)2 = R2.(1)А плоскость а совпадает с координатами плоскости Оxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0.(2)(объясните почему)

Точки М (x; y; z) удовлетворяют уравнениям (1) и (2), то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т.е. Является общей для точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений (1) и (2) не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений Z = 0 X2 + y2 + (z – d)2 = R2 Подставив z = 0 во второе уравнение, получим X2 + y2 = R2 – d2 (3) Возможны три случая, рассмотрим их.

Являетсяуравнением окружности радиусаr = кореньквадратный из R2 – d2,с центром в точке Она плоскости Оxy. Координаты любой точкиМ (x; y; 0)этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскостиа, так и уравнению сферы, т.е. все точкиэтой окружности являются общими точками плоскости и сферы. Рис.(8) Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.Итак,если расстояние от центрасферы до плоскости меньшерадиуса сферы, то сечение сферыплоскостью есть окружность. Рис.(8)

Удовлетворяют только числа x = 0, y = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. О – единственная общая точка сферы и плоскости. Рис.(9)Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Рис. (9)

Не удовлетворяют координаты никакой точки.Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскостибольше радиуса сферы, тосфера и плоскость не имеют общих точек. Рис. (10) Рис. (10)

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости

Плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Рассмотрим метод от противного. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости аменьше радиуса сферы. Поэтому плоскость и сфера пересекаются по окружности. Но это противоречит условию, т.е. сфера и плоскость аимеют только одну общую точку. А значит радиус ОА перпендикулярен плоскостиа. Теорема доказана.

Теорема: Если радиус перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Плоскостьа, касающуюся сферы с центром О в точке А. Доказать: ОА перпендикулярен к а Доказательство: Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равна радиусу сферы, следовательно, сфера и плоскость имеет только одну общую точку. Значит данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех граней. Говорят, что сфера касается грани многоугольника, если плоскость грани является касательной к сфере и точка касания принадлежит грани. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.Формула площади сферы радиуса R: S = 4ПR2

Прямой. Плоскость пересекает сферу по окружности L c центром О и радиусом R. Ясно, что все общие точки сферы и прямой а (если они есть) лежат в плоскости а и, следовательно, на окружности L. Возможны 3 случая:

Отрезками касательных, проведенных из точки А. Они обладают следующими свойствами:отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящие через эту точку и центр сферы.

Цилиндрическую поверхность Говорят что сфера вписана в цилиндрическуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Докажем, что: Существует сфера, касающаяся плоскости а и цилиндрической поверхности.

Перпендикуляр ОН к плоскости а и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S.(рис.11) Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью а. при параллельном переносе векторов АВ сфера Sпереходит в сферу S’радиуса r c центром О’, лежащим на прямой ОО1(рис.12), поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О’ до плоскости а равно О’В = ОА (объясните почему), т.е. равно радиусу r. Следовательно, сфера S’ касается плоскости а, т.е. является искомой.Утверждение доказано. Рис. 11 Рис. 12

ПОВЕРХНОСТЬ Говорят, что сфера в писана в коническуюповерхность, если она касается всех ее образующих. Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую–нибудь плоскость а, пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Самостоятельно докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости а и конической поверхности. См рис. 13 Рис. 13

Рассмотрим пирамиду SABCD. Пусть Р - периметр основания ABCD, которое расположено внутри окружности, получающейся в сечении сферы (границы шара) плоскостью ABCD. Радиус этой окружности r<=1. Продолжим отрезки АВ, ВС, CDи DA соответственно за точки B, C, Dи А до пересечения с окружностью в точках В1, С1, D1 и А1 соответственно. По неравенству треугольника

Р<=Р1, где Р1 – периметр четырехугольника А1В1С1D1..Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длинны этой окружности, поэтому р1<2Пr<=2ПДлинна каждого из ребер SA, SB, SC, SDне превосходит 2. поэтому если L – сумма длин всех сторон пирамиды, тоL=SA + SB + SC + SD + P < 2 + 2 + 2 + 2 + P1 < 8 + 2П< 15

Определение. Сфера называется вписанной в цилиндр , конус , усеченный конус , если каждая образующая цилиндра, конуса, усеченного конуса является касательной к сфере, а каждая плоскость основания цилиндра, конуса, усеченного конуса касается сферы в точке, лежащей внутри основания.

В этом случае говорят, что цилиндр, конус, усеченный конус описаны около сферы.

Теорема 1. Существует сфера, вписанная в конус.

Нам нужно доказать, что в конус можно вписать сферу. Так как нам известно, что конус симметричен относительно любого сечения, проходящего через его высоту, то мы, если докажем, что в любое такое сечение можно вписать окружность (центр у всех окружностей один и тот же), то докажем, что в конус можно вписать сферу.

Рассмотрим сечение конуса, проходящее через высоту конуса.

Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с основанием ВС. Высота ОА будет являться также и биссектрисой. Следовательно центр вписанной окружности О 1 будет находиться на ОА (вписать окружность можно, как известно, в любой треугольник). А так как все остальные рассматриваемые сечения будут равны АВС, то следовательно, и центры вписанных окружностей будут совпадать. Значит в конус можно вписать сферу с центром О 1 и радиусом ОО 1 .

Теорема 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру оснований.

Здесь рассматриваются сечения, которые будут являться прямоугольниками. Окружность можно вписать только в квадрат, отсюда и вытекает условие, что высота равна диаметру основания.

Теорема 3. В усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его образующая равна сумме радиусов оснований.

Ключевые задачи.

Задача 1. Имеются два одинаковых шара с радиусом R, которые касаются друг друга внешним образом и плоскости. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Так как эти шары касаются друг друга, то существует плоскость, которой они касаются в точке К. Эта плоскость будет перпендикулярна первой плоскости. Следовательно, углы АО 1 К и КО 2 В прямые, и значит АВО 2 О 1 – прямоугольник. Следовательно, АВ=2R.

Задача 2. На плоскости лежат два шара с радиусами R 1 и R 2 , которые касаются внешним образом. Найти расстояние между точками касания шаров и плоскости.

Рассмотрим сечение, перпендикулярное плоскости, на которой лежат шары. Точки А и В – точки касания шаров и плоскости. Опустим перпендикуляр О 2 К на АО 1 . КО 1 = АО 1 -КА. Если учесть, что КА=О 2 В=R 2 , а О 1 О 2 =R 1+ R 2 то по теореме Пифагора . А так как КАВО 2 – прямоугольник, то КА=АВ, Следовательно

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.

Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Пирамида, описанная около конуса

Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.

В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле

где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 1

В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Треугольник SAB равносторонний. Высота SH равна Площадь S равна Полупериметр p равен 3. По формуле r = S/p получаем

Упражнение 2

В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.

Решение. Обозначим h высоту SH конуса. Из формулы r = S/p имеем:

где r = 1, a = FG = 4, p =

Решая уравнение

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Высота SH конуса равна 1. Образующая.

Полупериметр p равен

По формуле r = S/p , имеем

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Радиус основания конуса равен 6. Площадь треугольника SFG равна 48, полупериметр 16. По формуле r = S/p имеем r = 3.

Ответ: r = 3.

Упражнение 5

Можно ли вписать сферу в наклонный конус?

Ответ: Нет.

Сфера, вписанная в усеченный конус

Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его основани й и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.

В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Упражнение 1

В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.

Решение. Имеем: A 1 B = A 1 O 1 = 2, A 2 B = A 2 O 2 = 1. Следовательно, A 1 A 2 = 3 , A 1 C = 1.

Таким образом,

Упражнение 2

В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания.

Решение. Пусть A 1 O 1 = 2. Обозначим r = A 2 O 2 . Имеем: A 1 A 2 = 2+ r , A 1 C = 2 – r . По теореме Пифагора, имеет место равенство из которого следует, что выполняется равенство Решая полученное уравнение относительно r , находим

Упражнение 3

В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 о. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Заметим, что осевым сечением конуса, из которого получен усеченный конус, является равносторонний треугольник со стороной 2. Радиус r сферы, вписанной в усеченный конус, равен радиусу окружности, вписанной в этот равносторонний треугольник, т.е.

Упражнение 4

Образующая усеченного конуса равна 2, площадь осевого сечения 3. Найдите радиус вписанной сферы.

Решение. Воспользуемся формулой r = S/p , где S – площадь осевого сечения, p – полупериметр. В нашем случае S = 3 . Для нахождения полупериметра напомним, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. Значит, полупериметр равен удвоенной образующей цилиндра, т.е. p = 4. Следовательно, r = ¾.

Упражнение 5

Можно ли вписать сферу в усеченный наклонный конус.

Ответ: Нет.

Сфера, описанная около конуса

Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу.

Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле

где S – площадь, a , b , c – стороны треугольника.

Упражнение 1

Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Треугольник SAB равносторонний со стороной 2. Высота SH равна Площадь S равна По формуле R = abc /4 S получаем

Упражнение 2

Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

Решение. Имеем, OB = 5 , HB = 4. Следовательно, OH = 3. Учитывая, что SO = OB = 5, получаем h = 8.

Ответ: h = 8.

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Треугольник SAB – прямоугольный, равнобедренный. Следовательно, радиус R описанной сферы равен радиусу основания цилиндра, т.е. R = 1.

Ответ: R = 1.

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. В треугольнике SAB имеем: SA = SB = 10, SH = 8. По теореме Пифагора, AH = 6 и, следовательно, S = 48. Используя формулу R = abc /4 S , получаем

Упражнение 5

Можно ли описать сферу около наклонного конуса?

Ответ: Да.

Сфера, описанная около усеченного конуса

С фера называется описанной около усеченного конуса, если окружност и основани й усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный к онус называется в писанным в сферу.

Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Упражнение 1

Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Решение. Заметим, что A 1 O 1 B 2 O 2 и O 1 B 1 B 2 A 2 – ромбы. Треугольники A 1 O 1 A 2 , O 1 A 2 B 2 , O 1 B 1 B 2 – равносторонние и, значит, A 1 B 1 –диаметр. Следовательно, R = 2.

Ответ: R = 2,

Упражнение 2

Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1, образующая равна 2 и составляет угол 45 о с плоскостью другого основания. Найдите радиус описанной сферы.

Решение. Имеем A 2 O 2 = 1, A 1 A 2 = 2, O 1 O 2 = , OO 1 = O 1 C = 1. Следовательно, OO 2 = 1 + и, значит,

Упражнение 3

Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Решение. Имеем OO 1 = 3 , OO 2 = 4 и, следовательно, O 2 A 2 = 3.

Упражнение 4

Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.

Решение. Обозначим R радиус описанной сферы. Тогда

Учитывая, что O 1 O 2 = 6, имеем равенство

Решая его относительно R , находим

Упражнение 5

Можно ли описать сферу около усеченного наклонного конуса.

Решение задач на конус, вписанный в шар (конус, вписанный в сферу) сводится к рассмотрению одного или нескольких треугольников.

Конус вписан в шар, если его вершина и окружность основания лежат на поверхности шара, то есть на сфере. Центр шара лежит на оси конуса.

При решении задач на конус, вписанный в шар, удобно рассматривать сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Сечение представляет собой большой круг шара (то есть круг, радиус которого равен радиусу шара) с вписанным в него равнобедренным треугольником — осевым сечением конуса. Боковые стороны этого треугольника — образующие конуса, основание — диаметр конуса.

Если угол между образующими острый, центр описанного круга лежит внутри треугольника (соответственно, центр описанного около конуса шара — внутри конуса).

Если угол между образующими прямой, центр круга лежит на середине основания треугольника (центр шара совпадает с центром основания конуса).

Если угол между образующими тупой, центр круга лежит вне треугольника (центр описанного шара — вне конуса).

Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Рассмотрим конуса и описанного около него шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара. Здесь SO=H — высота конуса, SB=l — образующая конуса,SO1=O1B=R — радиус шара, OB=r — радиус основания конуса, ∠OSB=α — угол между высотой и образующей конуса.

Треугольник SO1B — равнобедренный с основанием SB (так как SO1=O1B=R). Значит, у него углы при основании равны: ∠OSB=∠O1BS=α, и O1F — медиана, высота и биссектриса. Отсюда SF=l/2.

При решении задач на конус, вписанный в шар, можно рассмотреть прямоугольные треугольники SFO1 и SOB. Они подобны (по острому углу S). Из подобия треугольников

В прямоугольном треугольнике SOB ∠OBS=90º — ∠OSB=90º-α. По теореме Пифагора

В прямоугольном треугольнике O1OB ∠OBO1=90º — ∠O1BS=90º — α — α=90º — 2α.