Как найти боковой объем прямоугольного параллелепипеда. Объем параллелепипеда: основные формулы и примеры задач

Познавательные УУД:

Выражают структуру задачи разными средствами.

Выбирают, сопоставляют и обосновывают способы решения задачи.

Регулятивные УУД:

Сличают способ и результат своих действий с заданным эталоном,

Обнаруживают отклонения и отличия от эталона.

Коммуникативные УУД:

С достаточной полнотой и точностью выражают свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации

Предметный результат:

Определяют вид пространственных фигур. Вычисляют объемы куба и прямоугольного параллелепипеда, используя формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда.

ХОД УРОКА:

Организационный момент (проверка готовности классного помещения и обучающихся к уроку) (слайд 1-2) . (1 мин)

Мотивация урока (слайд 3) (1 мин)

Встали тихо, замолчали,

Всё, что нужно, вы достали.

Приготовились к уроку,

В нём иначе нету проку.

Здравствуйте, садитесь,

Больше не вертитесь.

Мы урок начнем сейчас,

Интересен он для вас.

Слушай всё внимательно,

Поймешь всё обязательно.

Формулирование темы урока: (3 мин)

Я рада вас видеть. Мы начинаем наш урок. Я хочу, чтобы этот урок принес вам новые открытия, и надеюсь, что вы с успехом будете применять имеющиеся у вас знания в решении практических задач. Я предлагаю вам отгадать задуманное мною слово, которое будет ключевым словом нашего урока.

Актуализация опорных знаний: (слайд 4)

Чтобы слово вам назвать придется немного посчитать и расставить величины по возрастанию:

250+433 – 600=

(83)

(80)

Найдите расстояние используя данные:

(12)

(10)

Найдите площадь фигуры:

(24)

Молодцы. Тема нашего сегодняшнего урока «Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда».

Откройте тетради запишите сегодняшнее число, тему урока, слова классная работа.

Домашнее задание: (слайд 6) (1 мин)

№ 843, №844, №848 (б)

Откройте учебник с. 125-126, подготовьтесь отвечать на мои вопросы: (слайд 7-8) (3 мин)

Как вы понимаете слово «Объем»?

Какие единицы измерения объема вы знаете? (мм 3 , дм 3 , см 3 , м 3 , км 3 )

Как еще называют кубический дециметр? (литр)

Как вычислить объем прямоугольного параллелепипеда? (Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда надо длину умножить на ширину и на высоту ).

Какой вид имеет формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда? (где V – объем , a,b,c - измерения).

Как вы думаете, что означает произведение a и b, в данной формуле? (площадь основания) ()

Что вы можете сказать об объеме куба? ()

Молодцы, с вопросами вы успешно справились.

Выполнение упражнений: (слайд 9-11) (8 мин)

№ 822

Объем комнаты равен 60 м 2 . Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка и стен.

О чем говорится в задаче?

Какую форму имеет комната?

V =60 м 2 , с =3 м, b =4 м. Чтобы найти длину комнаты надо:

Длина комнаты;

Чтобы найти площадь пола, надо длину умножить на ширину: . Площадь потолка будет равна площади пола, т.к они противоположны, т.е. площадь потолка равна.

Чтобы найти площадь стен, надо длину умножить на высоту, и ширину умножить на высоту: , затем вспомним что стены противоположны, т.е 2 стены по 15 м 2 , и 2 стены по 12 м 2 . Тогда площадь стен:

№ 825 (а, б)

а) выразите в кубических сантиметрах:

б) выразите в кубических дециметрах:

Задача. Вычислить объем куба со стороной 15 см. Ответ выразите в дециметрах кубических.

Историческая справка: (1 мин 30 сек)

Слова учителя.

Вопрос измерения объема твердых тел давно интересовал человечество. Используя тот факт, что жидкости в обычных условиях сжимать нельзя, можно измерять объемы твердых тел, помещая их в жидкость.

Архимед был первым, кто открыл этот способ взвешивания.

(Слайд 12 – видеоролик.)

Развивая эти идеи, Архимед нашел закон плавания тел: тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Поэтому, если вес вытесненной жидкости больше веса самого тела, то оно всплывает.

и немного разомнемся:

Физкультминутка (слайд 13) (1 мин)

Самостоятельная работа по вариантам, с последующей взаи мопроверкой). (10 мин.) (слайд 14 )

I-й вариант.

а ) S=vt;

б ) V=abc;

в ) P=2 (a+b);

г) V= 4a

2. Чему равен объем куба, если его ребро равно 5 см? (125 см 3 )

3. Какова длина сторона квадрата, если его площадь равна 100 см 2 ? (10 см)

II-й вариант

1. Укажите формулу, по которой находят объем прямоугольного параллелепипеда

а ) S=vt;

б ) V=ab;

в ) P=2 (a+b);

г) V = S осн с.

2. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 5 см, 12 см и 4 см? (240 см 3 )

3. Чему равна площадь квадрата со стороной 6 см? (36 см 2 )

Для проверки учащиеся обмениваются тетрадями с соседом для проверки и выставления оценки, сверяясь с экраном

Рефлексия: (3 мин)

Каждый обучающийся заносит оценки в свой зачетный лист:

Фамилия, имя ____________________________________

>> Урок 31. Формула объёма прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед - это пространственная фигура, ограниченная прямоугольниками .

Форму параллелепипеда имеют многие предметы из окружающей обстановки: коробка, кубики, телевизор, шкаф и т. д..

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Так же похожи, как круг и шар.

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Рис. 2. Фигура

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).

Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.

Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Или в общем виде:

Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.

Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 140

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)

Рис. 8. Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).

Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).

Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .

Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объем в дм 3 .

Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.

Ответ: 1 т.

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Мы можем перевести все в сантиметры.

Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.

Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Школа - это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика - царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь.

Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар - кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости.

Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры - плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты:

Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные.
Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты.

Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.

Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.

После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче - ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?

Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:

V=a*b*h ,

V является объемом параллелепипеда, где a - его длина b - ширина и h - высота соответственно.

Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах.

Пример первый

Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:

длина три метра;
ширина два метра пятьдесят сантиметров;
высота триста сантиметров.

Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:

Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.

Пример второй

Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.

Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.

Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:

V = 400 * 70 * 80;

V = 2240000 сантиметров в кубе.

Теперь метры:

V = 4* 0.7 * 0.8;

V = 2.24 метра в кубе.

Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.

Пример третий

Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина - трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:

V = a * b * h;

где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5

Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:

V = 5 * 3 * 2.5;

V = 37.5 метра в кубе.

Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот - можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Часто ученики возмущенно спрашивают: «Как мне в жизни это пригодится?». На любую тему каждого предмета. Не становится исключением и тема про объем параллелепипеда. И вот здесь как раз можно сказать: «Пригодится».

Как, например, узнать, поместится ли в почтовую коробку посылка? Конечно, можно методом проб и ошибок выбрать подходящую. А если такой возможности нет? Тогда на выручку придут вычисления. Зная вместимость коробки, можно рассчитать объем посылки (хотя бы приблизительно) и ответить на поставленный вопрос.

Параллелепипед и его виды

Если дословно перевести его название с древнегреческого, то получится, что это фигура, состоящая из параллельных плоскостей. Существуют такие равносильные определения параллелепипеда:

призма с основанием в виде параллелограмма;
многогранник, каждая грань которого - параллелограмм.

Его виды выделяются в зависимости от того, какая фигура лежит в его основании и как направлены боковые ребра. В общем случае говорят о наклонном параллелепипеде , у которого основание и все грани — параллелограммы. Если у предыдущего вида боковые грани станут прямоугольниками, то его нужно будет называть уже прямым . А у прямоугольного и основание тоже имеет углы по 90º.

Причем последний в геометрии стараются изображать так, чтобы было заметно, что все ребра параллельны. Здесь, кстати, наблюдается основное отличие математиков от художников. Последним важно передать тело с соблюдением закона перспективы. И в этом случае параллельность ребер совсем незаметна.

О введенных обозначениях

В приведенных ниже формулах справедливы обозначения, указанные в таблице.

Формулы для наклонного параллелепипеда

Первая и вторая для площадей:

Третья для того, чтобы вычислить объем параллелепипеда:

Так как основание - параллелограмм, то для расчета его площади нужно будет воспользоваться соответствующими выражениями.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда

Аналогично первому пункту - две формулы для площадей:

И еще одна для объема:

Первая задача

Условие. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого требуется найти. Известна диагональ — 18 см - и то, что она образует углы в 30 и 45 градусов с плоскостью боковой грани и боковым ребром соответственно.

Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, потребуется узнать все стороны в трех прямоугольных треугольниках. Они дадут необходимые значения ребер, по которым нужно сосчитать объем.

Сначала нужно выяснить, где находится угол в 30º. Для этого нужно провести диагональ боковой грани из той же вершины, откуда чертилась главная диагональ параллелограмма. Угол между ними и будет тем, что нужен.

Первый треугольник, который даст одно из значений сторон основания, будет следующим. В нем содержатся искомая сторона и две проведенные диагонали. Он прямоугольный. Теперь потребуется воспользоваться отношением противолежащего катета (стороны основания) и гипотенузы (диагонали). Оно равно синусу 30º. То есть неизвестная сторона основания будет определяться как диагональ, умноженная на синус 30º или ½. Пусть она будет обозначена буквой «а».

Вторым будет треугольник, содержащий известную диагональ и ребро, с которым она образует 45º. Он тоже прямоугольный, и можно опять воспользоваться отношением катета к гипотенузе. Другими словами, бокового ребра к диагонали. Оно равно косинусу 45º. То есть «с» вычисляется как произведение диагонали на косинус 45º.

с = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

В этом же треугольнике требуется найти другой катет. Это необходимо для того, чтобы потом сосчитать третью неизвестную - «в». Пусть она будет обозначена буквой «х». Ее легко вычислить по теореме Пифагора:

х = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (см).

Теперь нужно рассмотреть еще один прямоугольный треугольник. Он содержит уже известные стороны «с», «х» и ту, что нужно сосчитать, «в»:

в = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (см).

Все три величины известны. Можно воспользоваться формулой для объема и сосчитать его:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (см 3).

Ответ: объем параллелепипеда равен 729√2 см 3 .

Вторая задача

Условие. Требуется найти объем параллелепипеда. В нем известны стороны параллелограмма, который лежит в основании, 3 и 6 см, а также его острый угол — 45º. Боковое ребро имеет наклон к основанию в 30º и равно 4 см.

Решение. Для ответа на вопрос задачи нужно взять формулу, которая была записана для объема наклонного параллелепипеда. Но в ней неизвестны обе величины.

Площадь основания, то есть параллелограмма, будет определена по формуле, в которой нужно перемножить известные стороны и синус острого угла между ними.

S о = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (см 2).

Вторая неизвестная величина — это высота. Ее можно провести из любой из четырех вершин над основанием. Ее найти можно из прямоугольного треугольника, в котором высота является катетом, а боковое ребро — гипотенузой. При этом угол в 30º лежит напротив неизвестной высоты. Значит, можно воспользоваться отношением катета к гипотенузе.

н = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Теперь все значения известны и можно вычислить объем:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (см 3).

Ответ: объем равен 18 √2 см 3 .

Третья задача

Условие. Найти объем параллелепипеда, если известно, что он прямой. Стороны его основания образуют параллелограмм и равны 2 и 3 см. Острый угол между ними 60º. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания.

Решение. Для того чтобы узнать объем параллелепипеда, воспользуемся формулой с площадью основания и высотой. Обе величины неизвестны, но их несложно вычислить. Первая из них высота.

Поскольку меньшая диагональ параллелепипеда совпадает по размеру с большей основания, то их можно обозначить одной буквой d. Больший угол параллелограмма равен 120º, поскольку с острым он образует 180º. Пусть вторая диагональ основания будет обозначена буквой «х». Теперь для двух диагоналей основания можно записать теоремы косинусов :

d 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 120º,

х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º.

Находить значения без квадратов не имеет смысла, так как потом они будут снова возведены во вторую степень. После подстановки данных получается:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

х 2 = а 2 + в 2 - 2ав cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Теперь высота, она же боковое ребро параллелепипеда, окажется катетом в треугольнике. Гипотенузой будет известная диагональ тела, а вторым катетом — «х». Можно записать Теорему Пифагора:

н 2 = d 2 - х 2 = 19 - 7 = 12.

Отсюда: н = √12 = 2√3 (см).

Теперь вторая неизвестная величина — площадь основания. Ее можно сосчитать по формуле, упомянутой во второй задаче.

S о = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (см 2).

Объединив все в формулу объема, получаем:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).

Ответ: V = 18 см 3 .

Четвертая задача

Условие. Требуется узнать объем параллелепипеда, отвечающего таким условиям: основание — квадрат со стороной 5 см; боковые грани являются ромбами; одна из вершин, находящихся над основанием, равноудалена от всех вершин, лежащих в основании.

Решение. Сначала нужно разобраться с условием. С первым пунктом про квадрат вопросов нет. Второй, про ромбы, дает понять, что параллелепипед наклонный. Причем все его ребра равны 5 см, поскольку стороны у ромба одинаковые. А из третьего становится ясно, что три диагонали, проведенные из нее, равны. Это две, которые лежат на боковых гранях, а последняя внутри параллелепипеда. И эти диагонали равны ребру, то есть тоже имеют длину 5 см.

Для определения объема будет нужна формула, записанная для наклонного параллелепипеда. В ней опять нет известных величин. Однако площадь основания вычислить легко, потому что это квадрат.

S о = 5 2 = 25 (см 2).

Немного сложнее обстоит дело с высотой. Она будет таковой в трех фигурах: параллелепипеде, четырехугольной пирамиде и равнобедренном треугольнике. Последним обстоятельством и нужно воспользоваться.

Поскольку она высота, то является катетом в прямоугольном треугольнике. Гипотенузой в нем будет известное ребро, а второй катет равен половине диагонали квадрата (высота - она же и медиана). А диагональ основания найти просто:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

Высоту нужно будет сосчитать как разность второй степени ребра и квадрата половины диагонали и не забыть потом извлечь квадратный корень :

н = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (см).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (см 3).

Ответ: 62,5 √2 (см 3).